izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-6-88-93izvuzmath-197Research ArticleСтатьиСпектральные оценки для граней одной операторной матрицы третьего порядкаSpectral estimates for the bounds of an operator matrix of order threeРасуловТ. Х.RasulovT. H.

Расулов Тулкин Хусенович.

ул. М. Икбол, д. 11, Бухара, 200118

Tulkin H. Rasulov.

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118

rth@mail.ruШариповаМ. Ш.SharipovaM. Sh.

Шарипова Мубина Шодмоновна.

ул. М. Икбол, д. 11, Бухара, 200118

Mubina Sh. Sharipova.

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118

m.sh.sharipova@buxdu.uzБухарский государственный университетУзбекистанBukhara State UniversityUzbekistan202529062025068893Copyright © Расулов Т.Х., Шарипова М.Ш., 20252025Расулов Т.Х., Шарипова М.Ш.Rasulov T.H., Sharipova M.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/197

Рассматривается $3 \times 3$ операторная матрица ${\mathcal A}_\mu$ со спектральным параметром $\mu>0$, связанная с гамильтонианом системы с несохраняющимся числом и не более трех частиц на одномерной решетке. Описаны существенный и дискретный спектры операторной матрицы ${\mathcal A}_\mu$. Установлено, что операторная матрица ${\mathcal A}_\mu$ имеет не более четырех простых собственных значений, лежащих вне своего существенного спектра. Получены спектральные оценки для верхней и нижней границ операторной матрицы ${\mathcal A}_\mu$ с помощью кубической числовой области значений, вложения Гершгорина и классической теории возмущений.

In this paper we consider $3 \times 3$ operator matrix ${\mathcal A}_\mu$ with spectral parameter $\mu>0$ related with the Hamiltonian of a system with nonconserved and no more than three particles on a one-dimensional lattice. Essential and discrete spectra of the operator matrix ${\mathcal A}_\mu$ are described. It is established that the operator matrix ${\mathcal A}_\mu$ has at most four simple eigenvalues outside of the essential spectrum. Spectral estimates for the lower and upper bounds of the operator matrix ${\mathcal A}_\mu$ are obtained using cubic numerical range, Gershgorin enclosures and classical perturbation theory.

операторная матрицаспектральная оценкасобственное значениекубическая числовая область значениявложения Гершгоринаклассическая теория возмущенияoperator matrixspectral estimateeigenvaluecubic numerical rangeGershgorin enclosuresclassical perturbation theoryReferencesGustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical Range. The Field of Values of Linear Operators and Matrices (Universitext. Springer, New York, 1997).Gustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical Range. The Field of Values of Linear Operators and Matrices (Universitext. Springer, New York, 1997).Toeplitz O. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fej´er, Math. Z. 2 (1–2), 187–197 (1918).Toeplitz O. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fej´er, Math. Z. 2 (1–2), 187–197 (1918).Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform, Math. Z. 3 (1), 314–316 (1919).Hausdorff F. Der Wertvorrat einer Bilinearform, Math. Z. 3 (1), 314–316 (1919).Wintner A. Zur Theorie der beschra¨nkten Bilinearformen, Math. Z. 30 (1), 228–281 (1929).Wintner A. Zur Theorie der beschra¨nkten Bilinearformen, Math. Z. 30 (1), 228–281 (1929).Langer H., Tretter C. Spectral decomposition of some nonselfadjoint block operator matrices, J. Oper. Theory 39, 339–359 (1998).Langer H., Tretter C. Spectral decomposition of some nonselfadjoint block operator matrices, J. Oper. Theory 39, 339–359 (1998).Kato T. Perturbation theory for linear operators (Classics Math., Springer, Berlin, 1995).Kato T. Perturbation theory for linear operators (Classics Math., Springer, Berlin, 1995).Langer H., Markus A., Matsaev V., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range, Linear Algebra Appl. 330, 89–112 (2001).Langer H., Markus A., Matsaev V., Tretter C. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range, Linear Algebra Appl. 330, 89–112 (2001).Tretter C., Wagenhofer M. The Block Numerical Range of an n times n Block Operator Matrix, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 24 (4), 1003–1017 (2003).Tretter C., Wagenhofer M. The Block Numerical Range of an n times n Block Operator Matrix, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 24 (4), 1003–1017 (2003).Rasulov T.H., Tretter C. Spectral inclusion for unbounded diagonally dominant n х n operator matrices, Rocky Mountain J. Math. 48 (1), 279–324 (2018).Rasulov T.H., Tretter C. Spectral inclusion for unbounded diagonally dominant n х n operator matrices, Rocky Mountain J. Math. 48 (1), 279–324 (2018).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.