izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-5-77-83izvuzmath-192Research ArticleСтатьиИнтегральные неравенства в областях евклидова пространства для функций с ненулевым следомIntegral inequalities on domains of the Euclidean space for functions with non-zero tracesАвхадиевФ. Г.AvkhadievF. G.

Авхадиев Фарит Габидинович.

ул. Кремлевская, д. 18, Казань, 420008

Farit G. Avkhadiev.

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

avkhadiev47@mail.ruКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation202524052025057783Copyright © Авхадиев Ф.Г., 20252025Авхадиев Ф.Г.Avkhadiev F.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/192

В статье представлены несколько интегральных неравенств в плоских и пространственных областях для функций с ненулевым следом. Эти новые неравенства для функций являются обобщениями изопериметрических неравенств, полученных в недавней статье автора (Ф.Г. Авхадиев. Аналог метрики Пуанкаре и изопериметрические константы, Изв. вузов. Матем. (9), 92–99 (2024)).

Формулировки теорем содержат такие понятия, как область гиперболического типа, расстояние от точки до границы области, гиперболический радиус. Даны краткие схемы доказательств, в которых существенно используются метрика Пуанкаре и ее свойства, характеристики плоских областей с равномерно совершенными границами, а также пространственные области гиперболического типа в смысле Лёвнера-Ниренберга.

On plane and space domains, we present several integral inequalities for functions with non-zero boundary trace. These new inequalities for functions are generalizations of the isoperimetric inequalities from the author’s recent paper (F.G. Avkhadiev. An analog of the Poincaré metric and isoperimetric constants, Russian Mathematics, 2024, Vol. 68, No. 9, pp. 79–85).

Our theorems are formulated using hyperbolic type domains, the distance from a point to the boundary of a domain and the hyperbolic radius. We give schemes of proofs using the Poincaré metric and its properties, some hyperbolic characteristics of plane domains as well as space domains of hyperbolic type in the sense of Loewner and Nirenberg.

метрика Пуанкарерасстояние до границыгиперболический радиусравномерно совершенное множествоPoincaré metricdistance to the boundaryhyperbolic radiusuniformly perfect setРабота поддержана Российским научным фондом, проект № 23-11-00066.ReferencesАвхадиев Ф.Г. Аналог метрики Пуанкаре и изопериметрические константы, Изв. вузов. Матем. (9), 92–99 (2024).Авхадиев Ф.Г. Аналог метрики Пуанкаре и изопериметрические константы, Изв. вузов. Матем. (9), 92–99 (2024).Rademacher H. Über partielle und totale Differenzierbarkeit I, Math. Ann. 32 (4), 340–359 (1919).Rademacher H. Über partielle und totale Differenzierbarkeit I, Math. Ann. 32 (4), 340–359 (1919).Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis R.T. The analysis and geometry of Hardy’s inequality (Springer, Heidelberg - New York - Dordrecht - London, 2015).Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis R.T. The analysis and geometry of Hardy’s inequality (Springer, Heidelberg - New York - Dordrecht - London, 2015).Авхадиев Ф.Г. Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения, Матем. сб. 206 (12), 3–28 (2015).Авхадиев Ф.Г. Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения, Матем. сб. 206 (12), 3–28 (2015).Avkhadiev F.G. A Strong form of Hardy type inequalities on domains of the Euclidean space, Lobachevskii J. Math. 41 (11), 2120–2135 (2020).Avkhadiev F.G. A Strong form of Hardy type inequalities on domains of the Euclidean space, Lobachevskii J. Math. 41 (11), 2120–2135 (2020).Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the Poincaré metric, Arch. Math. 32 (2), 192–199 (1979).Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the Poincaré metric, Arch. Math. 32 (2), 192–199 (1979).Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Schwarz-Pick type inequalities (Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2009).Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Schwarz-Pick type inequalities (Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2009).Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного (Наука, М., 1966).Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного (Наука, М., 1966).Ahlfors L.V. Conformal invariants: topics in geometric function theory (McGraw-Hill, New York, 1973).Ahlfors L.V. Conformal invariants: topics in geometric function theory (McGraw-Hill, New York, 1973).Bandle C. and Flucher M. Harmonic radius and concentration of energy hyperbolic radius and Liouville’s equations ΔU = eU and ΔU = Un+2/n-2 , SIAM Rev. 38 (2), 191–238 (1996).Bandle C. and Flucher M. Harmonic radius and concentration of energy hyperbolic radius and Liouville’s equations ΔU = eU and ΔU = Un+2/n-2 , SIAM Rev. 38 (2), 191–238 (1996).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства (Казанск. ун-т, Казань, 2020).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства (Казанск. ун-т, Казань, 2020).Osgood B. Some properties of f’’/f’ and the Poincaré metric, Indiana Univ. Math. J. 31 (2), 449–461 (1982).Osgood B. Some properties of f’’/f’ and the Poincaré metric, Indiana Univ. Math. J. 31 (2), 449–461 (1982).Loewner C. and Nirenberg L. Partial differential equations invariant under conformal or projective transformations, Contribution to Anal., 245–272 (1974).Loewner C. and Nirenberg L. Partial differential equations invariant under conformal or projective transformations, Contribution to Anal., 245–272 (1974).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства в областях евклидова пространства, Изв. РАН. Сер. матем. 83 (5), 3–26 (2019).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства в областях евклидова пространства, Изв. РАН. Сер. матем. 83 (5), 3–26 (2019).Avkhadiev F.G. Euclidean maximum moduli of plane domains and their applications, Complex Variables Ellipt. Equat. 64 (11), 1869–1880 (2019).Avkhadiev F.G. Euclidean maximum moduli of plane domains and their applications, Complex Variables Ellipt. Equat. 64 (11), 1869–1880 (2019).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.