Волчков Валерий Владимирович.
ул. Университетская, д. 24, Донецк, 283001
Valeriy V. Volchkov.
24 Universitetskaya str., Donetsk, 283001
Волчков Виталий Владимирович.
ул. Университетская, д. 24, Донецк, 283001
Vitaliy V. Volchkov.
24 Universitetskaya str., Donetsk, 283001
Пусть $|\cdot|$ – евклидова норма в $\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$. Для $r>0$ через $V_r(\mathbb{R}^n)$ обозначим множество функций $f\in L_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$, удовлетворяющих условию \begin{equation*}\label{eq } \int_{|x|\leq r}f(x+y)dx=0\quad\text{для любого}\quad y\in\mathbb{R}^n. \end{equation*} В работе исследуется интерполяция функций умеренного роста из класса $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$ вместе с производными ограниченного порядка в заданном направлении.
Пусть $d\in\mathbb{R}^n$, $\sigma\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ фиксированы, $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ – последовательность точек, лежащих на прямой $ \{x\in\mathbb{R}^n:\,x=d+t\sigma,\,t\in(-\infty,+\infty)\}$ и удовлетворяющих условиям \begin{equation*}\label{equation} \underset{i\ne j}\inf\, |a_i-a_j|>0,\quad |a_k|\leq|a_{k+1}|\quad\text{для всех}\quad k\in\mathbb{N}. \end{equation*} Пусть также $m\in\mathbb{Z}_+$, $b_{k,j}\in\mathbb{C}$, $k\in\mathbb{N}$, $j\in\{0,\ldots,m\}$, – множество чисел, удовлетворяющих условию \begin{equation*}\label{eq} \underset{0\leq j\leq m}\max\, |b_{k,j}|\leq(k+1)^{\alpha} \end{equation*} для всех $k\in\mathbb{N}$ и некоторого $\alpha\geq 0$, не зависящего от $k$. Показано (теорема), что при указанных условиях интерполяционная задача \begin{equation*}\label{equation*} \left(\sigma_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\ldots+\sigma_n\frac{\partial}{\partial x_n}\right)^jf(a_k)=b_{k,j},\quad k\in\mathbb{N},\quad j\in\{0,\ldots,m\}, \end{equation*} разрешима в классе функций, принадлежащих $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$, которые вместе со всеми своими производными имеют рост не выше степенного на бесконечности. Отмечено, что условие отделимости узлов $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ в теореме убрать нельзя, а также, что решение указанной интерполяционной задачи не является единственным. Кроме того, указано, что одномерный аналог теоремы неверен, поскольку всякая непрерывная функция класса $V_r(\mathbb{R}^n)$ при $n=1$ является $2r$-периодической.
Let $|\cdot|$ be the Euclidean norm in $\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$. For $r>0$, weLet $|\cdot|$ be the Euclidean norm in $\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$. For $r>0$, we denote by $V_r(\mathbb{R}^n)$ the set of functions $f\in L_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ satisfying the condition \begin{equation*}\label{eq } \int_{|x|\leq r}f(x+y)dx=0\quad\text{for any}\quad y\in\mathbb{R}^n. \end{equation*} The paper investigates the interpolation of tempered growth functions of class $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$ together with the derivatives of bounded order in a given direction. Let $d\in\mathbb{R}^n$, $\sigma\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ be fixed, $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ be a sequence of points lying on the line $ \{x\in\mathbb{R}^n:\,x=d+t\sigma,\,t\in(-\infty,+\infty)\}$ and satisfying the conditions \begin{equation*}\label{equation} \underset{i\ne j}\inf\, |a_i-a_j|>0,\quad |a_k|\leq|a_{k+1}|\quad\text{for all}\quad k\in\mathbb{N}. \end{equation*} Let also $m\in\mathbb{Z}_+$ and $b_{k,j}\in\mathbb{C}$ ($k\in\mathbb{N}$, $j\in\{0,\ldots,m\}$) be a set of numbers satisfying the condition \begin{equation*}\label{eq} \underset{0\leq j\leq m}\max\, |b_{k,j}|\leq(k+1)^{\alpha} \end{equation*} for all $k\in\mathbb{N}$ and some $\alpha\geq 0$ independent of $k$. It is shown (Theorem) that, under the indicated conditions, the interpolation problem \begin{equation*}\label{ equation*} \left(\sigma_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\ldots+\sigma_n\frac{\partial}{\partial x_n}\right)^jf(a_k)=b_{k,j},\quad k\in\mathbb{N},\quad j\in\{0,\ldots,m\}, \end{equation*} is solvable in a class of functions belonging to $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$, which, together with all their derivatives, have growth no higher than a power-law at infinity. It is noted that the condition of separability of nodes $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ in the Theorem cannot be removed, and also that the solution of the considered interpolation problem is not the only one. In addition, it is stated that the one-dimensional analogue of the Theorem is not valid since every continuous function of class $V_r(\mathbb{R}^n)$ at $n=1$ is $2r$-periodic.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.