Мирганд Шабозович Шабозов
Просп. Рудаки, д. 17, г. Душанбе, 734025
Mirgand Shabozovich Shabozov
17 Rudaki Ave., Dushanbe, 734025
Хуромон Мамадамонович Хуромонов
Просп. Рудаки, д. 17, г. Душанбе, 734025
Khuromon Mamadamonovich Khuromonov
48/5 Borbad Ave., Dushanbe, 734055
Решается ряд экстремальных задач, связанных с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге $U:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ функций, принадлежащих пространству Бергмана $B_2$. Доказано двустороннее неравенство, являющееся обобщением результата М.Ш.\,Шабозова--Г.А.\,Юсупова, полученного для класса $L_{2}^{(r)}[0,2\pi]$-периодических функций $f\in L_{2}$, у которых $(r-1)$-я производная $f^{(r-1)}$ абсолютно непрерывна, а производная $r$-го порядка $f^{(r)}\in L_{2}$ на случай полиномиального приближения $f\in \mathcal{A}(U)$, принадлежащих $B_{2}^{(r)}(U)$.
Приведен ряд случаев, когда двустороннее неравенство обращается в равенство. Для некоторых классов функций, принадлежащих $B_2$, найдены точные значения известных $n$-попереч\-ников и решена задача совместного приближения функций и их промежуточных производных.
In this paper a number of extreme problems related to the best polynomial approximation of analytical in a circle $U:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ functions belonging to the Bergman's space $B_2$ are being solved. The bilateral inequality is proved, which is a generalization of the result of periodic functions $f\in L_{2}$, by M.Sh.Shabozov--G.A.Yusupov obtained for the class $L_{2}^{(r)}[0,2\pi]$-in which $(r-1)$ the derivative of $f^{(r-1)}$ is absolutely continuous, and the derivative of $r $ is order of $f^{(r)}\ in L_{2}$ in the case of a polynomial approximation of $f\in \mathcal{A}(U)$ belonging to $B_{2}^{(r)}(U)$.
A number of cases are given when the bilateral inequality turns into equality. For some classes of functions belonging to $B_2$, the exact values of the known $n$-diameters are found, and the problem of joint approximation of functions and their intermediate derivatives is solved.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.