izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-4-80-89izvuzmath-185Research ArticleСтатьиО нахождении коэффициентов оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С.Л. Соболева Ŵ(m) (T1)On finding the coefficients of the optimal interpolation formula in the space of S.L. Sobolev Ŵ(m) (T1)ХаятовХ. У.KhayatovKh. U.

Хуршиджон Усманович Хаятов

Ул. М. Икбол, д. 11, Бухара, 200118

Khurshidjon Usmanovich Khayatov

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118

wera00@mail.ruЖалоловО. И.JalolovO. I.

Озоджон Исомидинович Жалолов

Ул. М. Икбол, д. 11, Бухара, 200118

Ozodjon Isomidinovich Jalolov

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118

o_jalolov@mail.ruБухарский государственный университетУзбекистанBukhara State UniversityUzbekistan202525042025048089Copyright © Хаятов Х.У., Жалолов О.И., 20252025Хаятов Х.У., Жалолов О.И.Khayatov K.U., Jalolov O.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/185

Типичной задачей приближения является задача интерполяции. Классический метод ее решения состоит в построении интерполяционного многочлена. Однако многочлены обладают рядом недостатков, как аппарат приближения функций с особенностями и функций с не слишком большой гладкостью. На практике для того, чтобы хорошо приблизить функции, вместо построения интерполяционного полинома высокой степени используют сплайны, которые очень удобны в применении.

В данной работе исследуется построение интерполяционных сплайнов с использованием метода Соболева, минимизирующих норму в одном гильбертовом пространстве.

Впервые С.Л. Соболевым (\textquotedblleftВведение в теорию кубатурных формул\textquotedblright\ (Наука, М., 1974)) была поставлена задача нахождения экстремальной функции для интерполяционной формулы и вычисления нормы функционала погрешности в пространстве Соболева.

Приведены представление экстремальной функции и норма функционала погрешности интерполяционной формулы в явном виде в пространстве Соболева $W_{2}^{\left( m \right)}\left( {{R}^{n}} \right)$, т.\,е. функция у которой обобщенные производные порядка $m$ интегрируемы с квадратом. В основном рассматривается задача построения оптимальных интерполяционных формул в пространстве С.Л. Соболева $\tilde{W}_{2}^{\left( m \right)}\left( {{T}_{1}} \right)$ при $m=4$.

A typical approximation problem is the interpolation problem. The classical method for solving it is to construct an interpolation polynomial. However, polynomials have a number of disadvantages, such as being a tool for approximating functions with singularities and functions with not very high smoothness. In practice, in order to approximate functions well, instead of constructing a high-degree interpolation polynomial, splines are used, which are very convenient to use.

This paper examines the construction of interpolation splines using the Sobolev method, minimizing the norm in a certain Hilbert space.

For the first time, S.L. Sobolev \cite{6} posed the problem of finding the extremal function for the interpolation formula and calculating the norm of the error functional in the Sobolev space.

In this work, the extremal function of the interpolation formula is found in explicit form in the Sobolev space $W_{2}^{\left( m \right)}\left( {{R}^{n}} \right)$; a function whose generalized derivatives of order $m$ are square integrable. Basically, the problem of constructing optimal interpolation formulas in the space of S.L. Sobolev $\tilde{W}_{2}^{\left( m \right)}\left( {{T}_{1}} \right )$ for $m=4$ is considered.

обобщенная функцияпространствонормафункционал погрешностиинтерполяционная формулаэкстремальная функцияgeneralized functionspacenormerror functionalinterpolation formulaextremal functionReferencesHolladay J.C. Smoothest curve approximation, Math. Tables Aids Comput. 11, 223–243 (1957).Holladay J.C. Smoothest curve approximation, Math. Tables Aids Comput. 11, 223–243 (1957).de Boor C. Best approximation properties of spline functions of odd degree, J. Math. Mech. 12, 747–749 (1963).de Boor C. Best approximation properties of spline functions of odd degree, J. Math. Mech. 12, 747–749 (1963).Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. The Theory of Splines and Their Applications (Academic Press, New York, 1967).Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. The Theory of Splines and Their Applications (Academic Press, New York, 1967).Arcangeli R., de Silanes M. C.L., and Torrens J.J. Multidimensional Minimizing Splines (Springer, Boston, 2004).Arcangeli R., de Silanes M. C.L., and Torrens J.J. Multidimensional Minimizing Splines (Springer, Boston, 2004).Berlinet A., Thomas-Agnan C. Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics (Springer, Boston, 2004).Berlinet A., Thomas-Agnan C. Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics (Springer, Boston, 2004).Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных (Наука, Л., 1991).Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных (Наука, Л., 1991).Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов (Наукова Думка, Киев, 1992).Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов (Наукова Думка, Киев, 1992).Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация (Мир, М., 1975).Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация (Мир, М., 1975).Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике (Наука, М., 1976).Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике (Наука, М., 1976).Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Составные кубатурные формулы на решетке, Изв. вузов. Матем. (11), 59–74 (2023).Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Составные кубатурные формулы на решетке, Изв. вузов. Матем. (11), 59–74 (2023).Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. О задаче оптимального интерполирования функций, Изв. вузов. Матем. (12), 59–70 (2023).Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. О задаче оптимального интерполирования функций, Изв. вузов. Матем. (12), 59–70 (2023).Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Об одной интерполяционной задаче в пространстве Cоболева, Узбекск. матем. журн. (3), 180–186 (2009).Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Об одной интерполяционной задаче в пространстве Cоболева, Узбекск. матем. журн. (3), 180–186 (2009).Жалолов Ик.И. Алгоритм построения дискретного аналога D3 [beta ] одного оператора, Пробл. вычисл. и прикл. матем. 2, 48–52 (2015).Жалолов Ик.И. Алгоритм построения дискретного аналога D3 [beta ] одного оператора, Пробл. вычисл. и прикл. матем. 2, 48–52 (2015).Жалолов О.И., Хаятов Х.У. Алгоритм построения оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С.Л.Соболева W~ (m) (T1), Пробл. вычисл. и прикл. матем. (1), 47–59 (2023).Жалолов О.И., Хаятов Х.У. Алгоритм построения оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С.Л.Соболева W~ (m) (T1), Пробл. вычисл. и прикл. матем. (1), 47–59 (2023).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.