izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-3-89-106izvuzmath-177Research ArticleСтатьиО конструктивной разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений гаммерштейновского типа на всей прямойOn the constructive solvability of one class nonlinear integral equations of the Hammerstein type on the whole lineХачатрянА. Х.KhachatryanA. Kh.

Агавард Хачатурович Хачатрян

ул. Теряна, д. 74, г. Ереван, 0009

Aghavard Khachaturovich Khachatryan 

74 Teryan str., Yerevan, 0009 

Aghavard59@mail.ruХачатрянХ. А.KhachatryanKh. A.

Хачатур Агавардович Хачатрян 

ул. Алека Манукяна, д. 1, г. Ереван, 0025

Khachatur Aghavardovich Khachatryan 

1 Alex Manoogian str., Yerevan, 0025 

khachatur.khachatryan@ysu.amПетросянА. С.PetrosyanH. S.

Айкануш Самвеловна Петросян

ул. Теряна, д. 74, г. Ереван, 0009

Haykanush Samvelovna Petrosyan 

74 Teryan str., Yerevan, 0009 

Haykuhi25@mail.ruНациональный аграрный университет АрменииАрменияArmenian National Agrarian UniversityArmeniaЕреванский государственный университетАрменияYerevan State UniversityArmenia2025280320250389106Copyright © Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С., 20252025Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С.Khachatryan A.K., Khachatryan K.A., Petrosyan H.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/177

Работа посвящена конструктивному решению и изучению некоторых качественных свойств решения одного класса нелинейных интегральных уравнений на всей прямой с некомпактным и монотонным оператором гаммерштейновского типа. Указанный класс уравнений имеет приложения в различных направлениях физики и эпидемиологии. В частности, при определенных представлениях соответствующего ядра и нелинейности такие уравнения возникают в теории p-адических струн, в кинетической теории газов и в математической теории распространения эпидемических заболеваний в рамках различных моделей. При определенных ограничениях на ядро и на нелинейность уравнения доказывается конструктивная теорема существования непрерывного положительного и ограниченного решения, имеющего одинаковый конечный предел на . Более того, получается оценка для разности соответствующих соседних последовательных приближений, из которой следует, что эти приближения со скоростью убывания геометрической прогрессии равномерно сходятся к непрерывному и ограниченному решению изучаемого уравнения. При дополнительном ограничении на ядро доказывается также, что разность между решением и его предельным значением на из себя представляет суммируемую функцию на всей числовой прямой. Единственность решения в классе неотрицательных нетривиальных непрерывных и ограниченных функций получается из ранее известных результатов авторов настоящей работы. В конце работы приводятся численные расчеты для некоторых модельных примеров ядра и нелинейности.

The work is devoted to numerical solution and to the study of some qualitative properties of the solution of one class of nonlinear integral equations on the whole line with non-compact and monotone operator of Hammerstein type. This class of equations has applications in various areas of physics and epidemiology. In particular, under certain representations of the corresponding kernel and nonlinearity, such equations arise in the theory of p-adic strings, in the kinetic theory of gases, and in the mathematical theory of propagation epidemic diseases within different models. With certain restrictions on kernel and on the nonlinearity of the equation, a constructive theorem on the existence of a continuous positive and bounded solution having the same finite limit on . In addition, we obtain an estimate for the difference of the corresponding neighboring successive approximations, from which it follows that these approximations in terms of the speed of a geometric progression uniformly converge to a continuous and bounded solution of the equation under study. With additional restriction on the kernel, it is also proved that the difference between the solution and its limit value on is an integrable function on the entire number line. Uniqueness of the solution in the class of non-negative non-trivial continuous and bounded functions is obtained from previously known results of the authors of this paper. At the end of the work, numerical calculations are given for some model examples of the kernel and nonlinearity.

ядронелинейностьвогнутостьмонотонностьпоследовательные приближениясходимостьограниченное решениеkernelnon-linearityconcavitymonotonicitysuccessive approximationsconvergencebounded solutionИсследование второго автора выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 23RL-1A027ReferencesAref’eva I.Ya., Dragovic B.G., Volovich I.V. Open and closed p-adic strings and quadratic extensions of number fields, Phys. Lett. B 212 (3), 283–291 (1988).Aref’eva I.Ya., Dragovic B.G., Volovich I.V. Open and closed p-adic strings and quadratic extensions of number fields, Phys. Lett. B 212 (3), 283–291 (1988).Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны, ТМФ 138 (3), 355–368 (2004).Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны, ТМФ 138 (3), 355–368 (2004).Владимиров В.С. О нелинейных уравнениях p-адических открытых, замкнутых и открытозамкнутых струн, ТМФ 149 (3), 354–367 (2006).Владимиров В.С. О нелинейных уравнениях p-адических открытых, замкнутых и открытозамкнутых струн, ТМФ 149 (3), 354–367 (2006).Жуковская Л.В. Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн, Теорет. матем. физ. 146 (3), 402–409 (2006).Жуковская Л.В. Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн, Теорет. матем. физ. 146 (3), 402–409 (2006).Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (Наука, М., 1966).Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (Наука, М., 1966).Cercignani C. The Boltzmann Equation and its Application (Springer, New York, 1988).Cercignani C. The Boltzmann Equation and its Application (Springer, New York, 1988).Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения, АН Армянск. ССР. Астрофизика 2 (1), 31–36 (1966).Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения, АН Армянск. ССР. Астрофизика 2 (1), 31–36 (1966).Atkinson C., Reuter G.E.H. Deterministic epidemic waves, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 80 (2), 315–330 (1976).Atkinson C., Reuter G.E.H. Deterministic epidemic waves, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 80 (2), 315–330 (1976).Diekmann O. Threshold and travelling waves for the geographical spread of infection, J. Math. Biol. 6, 109–130 (1978).Diekmann O. Threshold and travelling waves for the geographical spread of infection, J. Math. Biol. 6, 109–130 (1978).Diekmann O., Kaper H.G. On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation, Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 2 (6), 721–737 (1978).Diekmann O., Kaper H.G. On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation, Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 2 (6), 721–737 (1978).Sargan J.D. The distribution of wealth, Econometrica 25, 568–590 (1957).Sargan J.D. The distribution of wealth, Econometrica 25, 568–590 (1957).Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. Асимптотическое поведение решения для одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в задаче распределения дохода, Тр. ИММ УрО РАН 27 (1), 188–206 (2021).Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. Асимптотическое поведение решения для одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в задаче распределения дохода, Тр. ИММ УрО РАН 27 (1), 188–206 (2021).Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны, Изв. РАН. Сер. матем. 82 (2), 172–193 (2018).Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны, Изв. РАН. Сер. матем. 82 (2), 172–193 (2018).Хачатрян Х.А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн, Тр. ММО 79 (1), 117–132 (2018).Хачатрян Х.А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн, Тр. ММО 79 (1), 117–132 (2018).Хачатрян Х.А. Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального уравнения свертки с монотонной нелинейностью, Изв. РАН. Сер. матем. 84 (4), 198–207 (2020).Хачатрян Х.А. Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального уравнения свертки с монотонной нелинейностью, Изв. РАН. Сер. матем. 84 (4), 198–207 (2020).Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых нелинейных граничных задач для сингулярных интегральных уравнений типа свертки, Тр. ММО 81 (1), 3–40 (2020).Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых нелинейных граничных задач для сингулярных интегральных уравнений типа свертки, Тр. ММО 81 (1), 3–40 (2020).Петросян А.С., Хачатрян Х.А. О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой, Матем. заметки 113 (4), 529–543 (2023).Петросян А.С., Хачатрян Х.А. О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой, Матем. заметки 113 (4), 529–543 (2023).Avetisyan M.H. On solvability of a nonlinear discrete system in the spread theory of infection, Proc. YSU. Phys. Math. Sci. 54 (2 (252)), 87–95 (2020).Avetisyan M.H. On solvability of a nonlinear discrete system in the spread theory of infection, Proc. YSU. Phys. Math. Sci. 54 (2 (252)), 87–95 (2020).Khachatryan Kh.A., Avetisyan M.H. On solvability of an infinite nonlinear system of algebraic equations with Teoplitz–Hankel matrices, Proc. YSU. Phys. Math. Sci. 51 (2 (243)), 158–167 (2017).Khachatryan Kh.A., Avetisyan M.H. On solvability of an infinite nonlinear system of algebraic equations with Teoplitz–Hankel matrices, Proc. YSU. Phys. Math. Sci. 51 (2 (243)), 158–167 (2017).Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О нелинейных интегральных уравнениях типа свертки в теории p-адических струн, ТМФ 216 (1), 184–200 (2023).Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А., Петросян А.С. О нелинейных интегральных уравнениях типа свертки в теории p-адических струн, ТМФ 216 (1), 184–200 (2023).Yengibaryan N.B. Renewal equation on the whole line, Stochastic Proc. Appl. 85, 237–247 (2000).Yengibaryan N.B. Renewal equation on the whole line, Stochastic Proc. Appl. 85, 237–247 (2000).Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Наука, М., 1976).Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Наука, М., 1976).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.