izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-3-54-70izvuzmath-175Research ArticleСтатьиСобственные колебания вязкоупругого трехслойного цилиндрического телаNatural vibrations of a viscoelastic three-layer cylindrical bodyСафаровИ. И.SafarovI. I.

Исмоил Иброхимович Сафаров

ул. Навои, д. 32, г. Ташкент, 100011

Ismail Ibrahimovich Safarov

32 Navoi str., Tashkent, 100011 

safarov54@mail.ruЖураевШ. И.JuraevSh. I.

Шухрат Исраилович Жураев

ул. М. Икбола, д. 11, г. Бухара, 200117

Shukhrat Israilovich Juraev 

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200117 

sh.i.juraev@buxdu.uzТешаевМ. Х.TeshaevM. Kh.

Мухсин Худойбердиевич Тешаев

ул. М. Икбола, д. 11, г. Бухара, 200117

Mukhsin Khudoyberdievich Teshaev

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200117 

muhsin_5@mail.ruУсмоновБ. Ш.UsmonovB. Sh.

Ботир Шукуруллоевич Усмонов

ул. Навои, д. 32, г. Ташкент, 100011

Botir Shukurulloyevich Usmonov

32 Navoi str., Tashkent, 100011

Ташкентский химико-технологический институтУзбекистанTashkent Institute of Chemical TechnologyUzbekistanБухарский государственный университетУзбекистанBukhara State UniversityUzbekistanБухарское отделение Института математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики УзбекистанУзбекистанBukhara Branch of the Institute of Mathematics named after Romanovsky at the Academy of Science of the Republic of UzbekistanUzbekistan202527032025035470Copyright © Сафаров И.И., Жураев Ш.И., Тешаев М.Х., Усмонов Б.Ш., 20252025Сафаров И.И., Жураев Ш.И., Тешаев М.Х., Усмонов Б.Ш.Safarov I.I., Juraev S.I., Teshaev M.K., Usmonov B.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/175

В работе рассматриваются собственные колебания вязкоупругого коаксиального цилиндрического тела, пространство между оболочками заполнено вязкоупругим материалом. Связь напряжений и деформаций удовлетворяет наследственному интегралу Больцмана– Вольтера. В качестве примера вязкоупругого материала применяется трехпараметрическое ядро релаксации со слабой сингулярностью Ржаницына–Колтунова. Решаются задачи малых колебаний рассматриваемой механической системы. Уравнения малых колебаний заполните- ля в перемещениях получены на основе дифференциальных уравнений Ламе теории вязко упругости с комплексными коэффициентами. Уравнения колебания наружной и внутренней оболочек, которые изготовлены из вязкоупругого материала, удовлетворяют уравнениям движения оболочки, подчиняющегося гипотезам Кирхгофа–Лява. Задача решается в преобразованиях Грина –Лэмба и методом комплексных амплитуд. Напряжения и перемещения каждой оболочки и заполнителя выражаются через специальные функции комплексного аргумента Бесселя и Неймана произвольного порядка. Получено частотное уравнение с комплекс- но входящим параметром, которое решается численно методом Мюллера. Для структурно-неоднородных механических систем сравнительно оценены зависимости нескольких мод комплексной собственной частоты (реальные и мнимые части) от различных параметров трехслойных тел. Также сравнительно оценено применение асимптотических и численных методов для решения частотных уравнений с комплексно выходящим параметром.

The natural vibrations of a viscoelastic coaxial cylindrical body are considered; the space between the shells is filled with a viscoelastic material. The relationship between stress and strain satisfies the Boltzmann–Voltaire hereditary integral. As an example of a viscoelastic material, a three-parametric relaxation kernel with a weak Rzhanitsyn–Koltunov singularity is used. The problems of small vibrations of the mechanical system under consideration are solved. Equations of small vibrations of the aggregate in displacements are obtained on the basis of Lame’s differential equations of the theory of viscoelasticity with complex coefficients. The equations of vibration of the outer and inner shells, which are made of viscoelastic material, satisfy the equations of motion of the shell, subject to the Kirchhoff–Love hypotheses. The problem is solved using the Green–Lamb transformation and the complex amplitude method. The stresses and displacements of each shell and filler are expressed through special functions of the Bessel and Neumann complex argument of an arbitrary order. A frequency equation with a complex parameter is obtained, which is solved numerically using the Muller method. For structurally inhomogeneous mechanical systems, the dependences of several modes of the complex natural frequency (real and imaginary parts) on various parameters of three-layer bodies are comparatively assessed. The application of asymptotic and numerical methods for solving frequency equations with a complex-output parameter is also comparatively assessed.

собственное колебаниеоболочкавязкоупругий материалзаполнительтрехслойное телоnatural vibrationshellviscoelastic materialfillerthree-layer bodyReferencesАдамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости (Изд-во УрО РАН, Екатеринбург, 2003).Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости (Изд-во УрО РАН, Екатеринбург, 2003).Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltayev Z.I., Ruziev T.R. Wave Propagation in a Well Located in an Isotropic Viscoelastic Medium, Internat. J. Engineer. Trends Techn. 70 (6), 252–256 (2022).Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltayev Z.I., Ruziev T.R. Wave Propagation in a Well Located in an Isotropic Viscoelastic Medium, Internat. J. Engineer. Trends Techn. 70 (6), 252–256 (2022).Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах (Наука, М., 1973).Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах (Наука, М., 1973).Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах (Наук. думка, Киев, 1981).Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах (Наук. думка, Киев, 1981).Сафаров И.И., Тешаев М.Х. Нестационарные движения сферических оболочек в вязкоупругой среде, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. Механ. (83), 166–179 (2023).Сафаров И.И., Тешаев М.Х. Нестационарные движения сферических оболочек в вязкоупругой среде, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. Механ. (83), 166–179 (2023).Кулеш М.А., Шардаков И.Н. Волновая динамика упругих сред (Пермь, Пермск. ун-т., 2007).Кулеш М.А., Шардаков И.Н. Волновая динамика упругих сред (Пермь, Пермск. ун-т., 2007).Тешаев М.Х., Каримов И.М., Умаров А.О., Жураев Ш.И. Дифракция гармонических сдвиговых волн на эллиптической полости, находящейся в упругой среде, Изв. вузов. Матем. (8), 64–70 (2023).Тешаев М.Х., Каримов И.М., Умаров А.О., Жураев Ш.И. Дифракция гармонических сдвиговых волн на эллиптической полости, находящейся в упругой среде, Изв. вузов. Матем. (8), 64–70 (2023).Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно-неоднородных средах и конструкциях (Фан, Ташкент, 1992).Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно-неоднородных средах и конструкциях (Фан, Ташкент, 1992).Уайт Б. Поверхностные упругие волны, Вестн. ин-та инженеров по электротехн. и радиоэлектрон. 58 (8), 68–110 (1970).Уайт Б. Поверхностные упругие волны, Вестн. ин-та инженеров по электротехн. и радиоэлектрон. 58 (8), 68–110 (1970).Старовойтова И.А., Хозин В.Г., Сулейманов А.М. и др. Одноосноориентированные армированные пластики: анализ состояния, проблемы и перспективы развития, Изв. Казанск. гос. арх.-строит. ун-та 4 (22), 332–339 (2012).Старовойтова И.А., Хозин В.Г., Сулейманов А.М. и др. Одноосноориентированные армированные пластики: анализ состояния, проблемы и перспективы развития, Изв. Казанск. гос. арх.-строит. ун-та 4 (22), 332–339 (2012).Atarsia A., Boukhili R. Effect of pulling speed on the sezies of the liquid, gel and solid zone, during thermoset pultrusion, J. Reinf. Plast. Comp. (19 (18)), 1493–1503 (2000).Atarsia A., Boukhili R. Effect of pulling speed on the sezies of the liquid, gel and solid zone, during thermoset pultrusion, J. Reinf. Plast. Comp. (19 (18)), 1493–1503 (2000).Коган Е.А., Юрченко А.А. Построение амплитудно-частотных характеристик трехслойных пластин конечного прогиба, Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Международн. симпозиум им. А.Г. Горшкова, Ярополец, М., 16–20 февраля 2009 г. Тез. докл. М., МАИ, 89–90, 2009).Коган Е.А., Юрченко А.А. Построение амплитудно-частотных характеристик трехслойных пластин конечного прогиба, Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Международн. симпозиум им. А.Г. Горшкова, Ярополец, М., 16–20 февраля 2009 г. Тез. докл. М., МАИ, 89–90, 2009).Hu Hao, Fu Yi-ming Нелинейные динамические реакции вязкоупругих ортотропных симметричных слоистых пластин, J. Hunan Univ. Natur. Sci. 30 (5), 79–83 (2003).Hu Hao, Fu Yi-ming Нелинейные динамические реакции вязкоупругих ортотропных симметричных слоистых пластин, J. Hunan Univ. Natur. Sci. 30 (5), 79–83 (2003).Куликов Г.М., Кулешов Ю.В Нелинейные колебания многослойных трансверсально изотропных пластин, Вестн. Тамбовск. гос. тех. ун-та 6 (2), 258–264 (2000).Куликов Г.М., Кулешов Ю.В Нелинейные колебания многослойных трансверсально изотропных пластин, Вестн. Тамбовск. гос. тех. ун-та 6 (2), 258–264 (2000).Куликов Г.М., Кулешов Ю.В Вынужденные нелинейные колебания многослойных пластин, Вестн. Тамбовск. гос. тех. ун-та 8 (3), 483–490 (2002).Куликов Г.М., Кулешов Ю.В Вынужденные нелинейные колебания многослойных пластин, Вестн. Тамбовск. гос. тех. ун-та 8 (3), 483–490 (2002).Куликов Г.М., Кулешов Ю.В. Нелинейные колебания многослойных пластин, Вестн. ТГУ. Сер. естеств. техн. наук 9 (2), 264–267 (2004).Куликов Г.М., Кулешов Ю.В. Нелинейные колебания многослойных пластин, Вестн. ТГУ. Сер. естеств. техн. наук 9 (2), 264–267 (2004).Chen Chun-Sheng, Cheng Wei-Seng, Chien Rean-Der, Doong Ji-Liang Large amplitude vibration of an initially stressed cross ply laminated plates, Appl. Acoust. 63 (9), 939–956 (2002).Chen Chun-Sheng, Cheng Wei-Seng, Chien Rean-Der, Doong Ji-Liang Large amplitude vibration of an initially stressed cross ply laminated plates, Appl. Acoust. 63 (9), 939–956 (2002).Maloy K., Singha, Ganapathi M. Large amplitude free flexural vibration of laminated composite skew plates, Internat. J. Non-Linear Mech. 39 (10), 1709–1720 (2004).Maloy K., Singha, Ganapathi M. Large amplitude free flexural vibration of laminated composite skew plates, Internat. J. Non-Linear Mech. 39 (10), 1709–1720 (2004).Wang X., Zhong Z. Three-dimensional solution of smart laminated anisotropic circular cylindrical shells with imperfect bonding, Internat. J. Solids Struct. 40 (22), 5901–5921 (2003).Wang X., Zhong Z. Three-dimensional solution of smart laminated anisotropic circular cylindrical shells with imperfect bonding, Internat. J. Solids Struct. 40 (22), 5901–5921 (2003).Wu C.-P., Lo J.-Y. Three-Dimensional Elasticity Solutions of Laminated Annular Spherical Shells, J. Engin. Mech. 126 (8), 882–885 (2000).Wu C.-P., Lo J.-Y. Three-Dimensional Elasticity Solutions of Laminated Annular Spherical Shells, J. Engin. Mech. 126 (8), 882–885 (2000).Teshaev M.K., Safarov I.I., Kuldashov N.U., Ishmamatov M.R., Ruziev T.R. On the Distribution of Free Waves on the Surface of a Viscoelastic Cylindrical Cavity, J. Vibrat. Engin. Techn. 8 (4), 579–585 (2020), DOI: 10.1007/s42417-019-00160-x.Teshaev M.K., Safarov I.I., Kuldashov N.U., Ishmamatov M.R., Ruziev T.R. On the Distribution of Free Waves on the Surface of a Viscoelastic Cylindrical Cavity, J. Vibrat. Engin. Techn. 8 (4), 579–585 (2020), DOI: 10.1007/s42417-019-00160-x.Комиссарова Г.Л. Распространение нормальных волн в заполненных жидкостью тонкостенных цилиндрах, Прикл. механ. 38 (1), 124–134 (2002).Комиссарова Г.Л. Распространение нормальных волн в заполненных жидкостью тонкостенных цилиндрах, Прикл. механ. 38 (1), 124–134 (2002).Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре, Акуст. журн. 7 (3), 39–48 (2004).Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Свойства поверхностных волн в упругом полом цилиндре, Акуст. журн. 7 (3), 39–48 (2004).Safarov I.I., Nuriddinov B.Z., Teshaev M.Kh., Marasulov A.M. Propagation of own non-axisymmetric waves in viscoelastic three-layered cylindrical shells, Engin. J. 25 (7), 97–107 (2021).Safarov I.I., Nuriddinov B.Z., Teshaev M.Kh., Marasulov A.M. Propagation of own non-axisymmetric waves in viscoelastic three-layered cylindrical shells, Engin. J. 25 (7), 97–107 (2021).Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I., Ishmamatov M.R., Ruziyev T.R. Propagation of Proper Waves in a Viscoelastic Timoshenko Plate of Variable Thickness, Intern. J. Engin. Trends Techn. 71 (1), 25–30 (2023).Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I., Ishmamatov M.R., Ruziyev T.R. Propagation of Proper Waves in a Viscoelastic Timoshenko Plate of Variable Thickness, Intern. J. Engin. Trends Techn. 71 (1), 25–30 (2023).Тютекин В.В. Спирально-винтовые волны в упругой цилиндрической оболочке, заполненной жидкостью, Акуст. журн. 54 (4), 517–521 (2008).Тютекин В.В. Спирально-винтовые волны в упругой цилиндрической оболочке, заполненной жидкостью, Акуст. журн. 54 (4), 517–521 (2008).Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости, Инженерн. журн.: наука и инновации 7 (19) (2013).Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости, Инженерн. журн.: наука и инновации 7 (19) (2013).Safarov I.I., Teshaev M.H., Boltaev Z.I., Akhmedov M.Sh. Mathematical modeling of dynamic processes in a toroidal and cylindrical shell interacting with a liquid, Raleigh, North Carolina, USA: Open Sci. Publ., 223 (2018).Safarov I.I., Teshaev M.H., Boltaev Z.I., Akhmedov M.Sh. Mathematical modeling of dynamic processes in a toroidal and cylindrical shell interacting with a liquid, Raleigh, North Carolina, USA: Open Sci. Publ., 223 (2018).Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I., Ishmamatov M.R., Ruziyev T.R. Propagation of Proper Waves in a Viscoelastic Timoshenko Plate of Variable Thickness, Intern. J. Engin. Trends Techn. 71 (1), 25–30 (2023).Safarov I.I., Teshaev M.Kh., Boltaev Z.I., Ishmamatov M.R., Ruziyev T.R. Propagation of Proper Waves in a Viscoelastic Timoshenko Plate of Variable Thickness, Intern. J. Engin. Trends Techn. 71 (1), 25–30 (2023).Bao X.L., Raju P.K., Uberall H. Circumferential waves on an immersed, fluid-filled elastic cylindrical shell., J. Acoust. Soc. Am. 105 (5), 2704–2709 (1999).Bao X.L., Raju P.K., Uberall H. Circumferential waves on an immersed, fluid-filled elastic cylindrical shell., J. Acoust. Soc. Am. 105 (5), 2704–2709 (1999).Safarov I., Teshaev M. Control of resonant oscillations of viscoelastic systems, Theor. Appl. Mech. 51 (1), 1–12 (2024), DOI : https://doi.org/10.2298/TAM220510007S.Safarov I., Teshaev M. Control of resonant oscillations of viscoelastic systems, Theor. Appl. Mech. 51 (1), 1–12 (2024), DOI : https://doi.org/10.2298/TAM220510007S.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.