izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-2-91-97izvuzmath-166Research ArticleСтатьиРазрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи для модели Кельвина-Фойгта второго порядка со сглаженной производной ЯуманнаWeak solvability of the initial-boundary value problem for the second-order Kelvin-Voigt model with smoothed Jaumann derivativeЗвягинВ. Г.ZvyaginV. G.

Звягин Виктор Григорьевич.

пл. Университетская, д. 1, Воронеж, 394018

Victor G. Zvyagin.

1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394018

zvg_vsu@mail.ruТурбинМ. В.TurbinM. V.

Турбин Михаил Вячеславович.

пл. Университетская, д. 1, Воронеж, 394018

Mikhail V. Turbin.

1 Universitetskaya sq., Voronezh, 394018

mrmike@mail.ruВоронежский государственный университетРоссияVoronezh State UniversityRussian Federation202526022025029197Copyright © Звягин В.Г., Турбин М.В., 20252025Звягин В.Г., Турбин М.В.Zvyagin V.G., Turbin M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/166

Устанавливается разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи для модели Кельвина-Фойгта второго порядка со сглаженной производной Яуманна по времени с учетом памяти движения жидкости. Для доказательства рассматривается задача, аппроксимирующая исходную, и на основе априорных оценок решений и теории степени Лере-Шаудера устанавливается ее разрешимость. После чего осуществляется предельный переход при стремлении параметра аппроксимации к нулю и показывается, что решения аппроксимационной задачи слабо сходятся к слабому решению исходной задачи.

The paper establishes the solvability in the weak sense of the initial-boundary value problem for the second-order Kelvin-Voigt model with smoothed Jaumann time derivative taking into account the memory of fluid motion. For the proof, a problem approximating the original one is considered, and its solvability is established based on a priori estimates of solutions and the Leray-Schauder degree theory. After that, the limit transition is carried out as the approximation parameter tends to zero, and it is shown that the solutions of the approximation problem weakly converge to the solution of the original problem.

слабое решениетеорема существованиямодель Кельвина-Фойгтасглаженная производная Яуманнаweak solutionexistence theoremKelvin-Voigt modelsmoothed Jaumann derivativeРезультаты получены в рамках выполнения Госзадания Министерства науки и высшего образования РФ (проект FZGU-2023-0007).ReferencesВиноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров (Химия, Москва, 1977).Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров (Химия, Москва, 1977).Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина–Фойгта и жидкостей Олдройта, Тр. МИАН СССР 179, 126–164 (1988).Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина–Фойгта и жидкостей Олдройта, Тр. МИАН СССР 179, 126–164 (1988).Звягин В.Г., Турбин М.В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина–Фойгта, Соврем. матем. фундамент. напр. 31, 3–144 (2009).Звягин В.Г., Турбин М.В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина–Фойгта, Соврем. матем. фундамент. напр. 31, 3–144 (2009).Turbin M., Ustiuzhaninova A. Existence of weak solution to initial-boundary value problem for finite order Kelvin–Voigt fluid motion model, Boletin de la Sociedad Matem. Mexicana 29, article 54 (2023), DOI: 10.1007/s40590-023-00526-y.Turbin M., Ustiuzhaninova A. Existence of weak solution to initial-boundary value problem for finite order Kelvin–Voigt fluid motion model, Boletin de la Sociedad Matem. Mexicana 29, article 54 (2023), DOI: 10.1007/s40590-023-00526-y.Турбин М.В., Устюжанинова А.С. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабых водных растворов полимеров, Изв. вузов. Матем. (8), 62–78 (2019), DOI: 10.26907/0021-3446-2019-8-62-78.Турбин М.В., Устюжанинова А.С. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабых водных растворов полимеров, Изв. вузов. Матем. (8), 62–78 (2019), DOI: 10.26907/0021-3446-2019-8-62-78.Турбин М.В., Устюжанинова А.С. Разрешимость начально-краевой задачи для модифицированной модели Кельвина–Фойгта с памятью вдоль траекторий движения жидкости, Дифференц. уравнения 60 (2), 187–210 (2024), DOI: 10.31857/S0374064124020046.Турбин М.В., Устюжанинова А.С. Разрешимость начально-краевой задачи для модифицированной модели Кельвина–Фойгта с памятью вдоль траекторий движения жидкости, Дифференц. уравнения 60 (2), 187–210 (2024), DOI: 10.31857/S0374064124020046.Zvyagin V.G., Vorotnikov D.A. Approximating-topological methods in some problems of hydrodynamics, J. Fixed Point Theory Appl. 3 (1), 23–49 (2008), DOI: 10.1007/s11784-008-0056-7.Zvyagin V.G., Vorotnikov D.A. Approximating-topological methods in some problems of hydrodynamics, J. Fixed Point Theory Appl. 3 (1), 23–49 (2008), DOI: 10.1007/s11784-008-0056-7.Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости (Наука, Москва, 1970).Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости (Наука, Москва, 1970).Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред (КРАСАНД, Москва, 2012).Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред (КРАСАНД, Москва, 2012).DiPerna R.J., Lions P.-L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces, Invent. Math. 98 (3), 511–547 (1989), DOI: 10.1007/BF01393835.DiPerna R.J., Lions P.-L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces, Invent. Math. 98 (3), 511–547 (1989), DOI: 10.1007/BF01393835.Zvyagin V.G., Orlov V.P. Solvability of one non-Newtonian fluid dynamics model with memory, Nonlinear Anal. 172, 73–98 (2018), DOI: 10.1016/j.na.2018.02.012.Zvyagin V.G., Orlov V.P. Solvability of one non-Newtonian fluid dynamics model with memory, Nonlinear Anal. 172, 73–98 (2018), DOI: 10.1016/j.na.2018.02.012.Звягин В.Г., Орлов В.П., Турбин М.В. Разрешимость начально-краевой задачи для модели Олдройда высокого порядка, Изв. вузов. Матем. (7), 79–85 (2022), DOI: 10.26907/0021-3446-2022-7-79-85.Звягин В.Г., Орлов В.П., Турбин М.В. Разрешимость начально-краевой задачи для модели Олдройда высокого порядка, Изв. вузов. Матем. (7), 79–85 (2022), DOI: 10.26907/0021-3446-2022-7-79-85.Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ (Мир, Москва, 1981).Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ (Мир, Москва, 1981).Zvyagin A.V. Solvability for equations of motion of weak aqueous polymer solutions with objective derivative, Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl. 90, 70–85 (2013), DOI: 10.1016/j.na.2013.05.022.Zvyagin A.V. Solvability for equations of motion of weak aqueous polymer solutions with objective derivative, Nonlinear Anal.: Theory, Methods & Appl. 90, 70–85 (2013), DOI: 10.1016/j.na.2013.05.022.Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости, Дифференц. уравнения 38 (12), 1633–1645 (2002).Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости, Дифференц. уравнения 38 (12), 1633–1645 (2002).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.