izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-2-79-90izvuzmath-165Research ArticleСтатьиЗадача со свободной границей для системы параболических уравнений типа реакция-диффузияFree boundary problem for a system of parabolic equations of the reaction-diffusion typeРасуловМ. С.RasulovM. S.

Расулов Мирожиддин Собиржонович.

ул. Университетская, д. 9, Ташкент, 100174; ул. Кары Ниязи, д. 39, Ташкент, 100000

Mirojiddin S. Rasulov.

9 University str., Tashkent, 100174; 39 Kori Niyozov str., Tashkent, 100000

rasulovms@bk.ruИнститут математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Национальный исследовательский университет “ТИИИМСХ”УзбекистанV.I. Romanovskiy Institute of Mathematics Uzbekistan Academy of Sciences; "TIIAME" National Research UniversityUzbekistan202526022025027990Copyright © Расулов М.С., 20252025Расулов М.С.Rasulov M.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/165

Рассматривается задача со свободной границей для системы квазилинейных параболических уравнения в одномерном случае. Для искомого решения установлены априорные оценки Шаудерского типа. На основе полученных оценок доказаны теоремы единственности и существования.

This paper considers a free boundary problem for a system of quasi-linear parabolic equations in one dimension. Nonlinear problems with a free boundary are studied using a method based on constructing a priori estimates. For the solutions of the problem, apriory estimates of Shauder type are established. On the base of apriory estimates, the existence and uniqueness theorems are proved.

реакция-диффузияпараболическое уравнениесвободная границааприорная оценкатеорема существования и единственностиreaction-diffusion typeparabolic equationfree boundarya priori estimateexistence and uniqueness theoremReferencesDu Y., Lin Zh.G. Spreading-Vanishing Dichotomy in the Diffusive Logistic Model with a Free Boundary, SIAM J. Math. Anal. 42 (1), 377–405 (2010), DOI: 10.1137/090771089.Du Y., Lin Zh.G. Spreading-Vanishing Dichotomy in the Diffusive Logistic Model with a Free Boundary, SIAM J. Math. Anal. 42 (1), 377–405 (2010), DOI: 10.1137/090771089.Du Y., Lin Zh.G. The diffusive competition model with a free boundary: Invasion of a superior or inferior competitor, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 19 (10), 3105–3132 (2014), DOI: 10.3934/dcdsb.2014.19.3105.Du Y., Lin Zh.G. The diffusive competition model with a free boundary: Invasion of a superior or inferior competitor, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 19 (10), 3105–3132 (2014), DOI: 10.3934/dcdsb.2014.19.3105.Guo J.-S., Wu C.-H., On a Free Boundary Problem for a Two-Species Weak Competition System, J. Dyn. Diff. Equat. 24, 873–895 (2012), DOI: 10.1007/s10884-012-9267-0.Guo J.-S., Wu C.-H., On a Free Boundary Problem for a Two-Species Weak Competition System, J. Dyn. Diff. Equat. 24, 873–895 (2012), DOI: 10.1007/s10884-012-9267-0.Wang M., Zhao J. Free Boundary Problems for a Lotka-Volterra Competition System, J. Dyn. Diff. Equat. 26, 655–672 (2014), DOI: 10.1007/s10884-014-9363-4.Wang M., Zhao J. Free Boundary Problems for a Lotka-Volterra Competition System, J. Dyn. Diff. Equat. 26, 655–672 (2014), DOI: 10.1007/s10884-014-9363-4.Liu Y., Guo Z., Smaily El M., Wang L. Biological invasion in a predator–prey model with a free boundary, Bound Value Probl. 2019 (33) (2019), DOI: 10.1186/s13661-019-1147-7.Liu Y., Guo Z., Smaily El M., Wang L. Biological invasion in a predator–prey model with a free boundary, Bound Value Probl. 2019 (33) (2019), DOI: 10.1186/s13661-019-1147-7.Liu Y., Guo Z., Smaily El M., Wang L. A Leslie-Gower predator-prey model with a free boundary, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 12 (7), 2063–2084 (2019), DOI: 10.3934/dcdss.2019133.Liu Y., Guo Z., Smaily El M., Wang L. A Leslie-Gower predator-prey model with a free boundary, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 12 (7), 2063–2084 (2019), DOI: 10.3934/dcdss.2019133.Lin Z.G. A free boundary problem for a predator-prey model, Nonlinearity 20 (8), 1883–1892 (2007), DOI: 10.1088/0951-7715/20/8/004.Lin Z.G. A free boundary problem for a predator-prey model, Nonlinearity 20 (8), 1883–1892 (2007), DOI: 10.1088/0951-7715/20/8/004.Yousefnezhad M., Mohammadi S.A., Bozorgnia F. A Free Boundary Problem for a Predator-Prey Model with Nonlinear Prey-Taxis, Appl. Math. 63, 125–147 (2018), DOI: 10.21136/AM.2018.0227-17.Yousefnezhad M., Mohammadi S.A., Bozorgnia F. A Free Boundary Problem for a Predator-Prey Model with Nonlinear Prey-Taxis, Appl. Math. 63, 125–147 (2018), DOI: 10.21136/AM.2018.0227-17.Chen X., Friedman A. A Free Boundary Problem Arising in a Model of Wound Healing, SIAM J.Math.Anal. 32 (4), 788–800 (2000), DOI: 10.1137/S0036141099351693.Chen X., Friedman A. A Free Boundary Problem Arising in a Model of Wound Healing, SIAM J.Math.Anal. 32 (4), 788–800 (2000), DOI: 10.1137/S0036141099351693.Юнес Г.А., Эль Хатиб Н., Вольперт В.А. Существование решения задачи со свободной границей для систем «реакция-диффузия», Современ. матем. Фундамент. направ. 68 (4), 716–731 (2022), DOI: 10.22363/2413-3639-2022-68-4-716-731.Юнес Г.А., Эль Хатиб Н., Вольперт В.А. Существование решения задачи со свободной границей для систем «реакция-диффузия», Современ. матем. Фундамент. направ. 68 (4), 716–731 (2022), DOI: 10.22363/2413-3639-2022-68-4-716-731.Cantrell R.S., Cosner C. Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations (Wiley, England, 2003).Cantrell R.S., Cosner C. Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations (Wiley, England, 2003).Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations (Plenum Press, New York, 1992).Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations (Plenum Press, New York, 1992).Тасевич А.Л., Бочаров Г.А., Вольперт В.А. Уравнения реакции-диффузии в иммунологии, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 58 (12), 2048–2059 (2018), DOI: 10.31857/S004446690003551-7.Тасевич А.Л., Бочаров Г.А., Вольперт В.А. Уравнения реакции-диффузии в иммунологии, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 58 (12), 2048–2059 (2018), DOI: 10.31857/S004446690003551-7.Мейрманов А.М. Задача Стефана (Наука, Новосибирск, 1986).Мейрманов А.М. Задача Стефана (Наука, Новосибирск, 1986).Takhirov J.O. A Free Boundary Problem for a Reaction-Diffusion Equation in Biology, Indian J. Pure Appl. Math. 50, 95–112 (2019), DOI: 10.1007/s13226-019-0309-8.Takhirov J.O. A Free Boundary Problem for a Reaction-Diffusion Equation in Biology, Indian J. Pure Appl. Math. 50, 95–112 (2019), DOI: 10.1007/s13226-019-0309-8.Takhirov Z.O., Rasulov M.S. Problem with free boundary for systems of equations of reaction-diffusion type, Ukr. Math. J. 69 (12), 1968–1980 (2018), DOI: 10.1007/s11253-018-1481-4.Takhirov Z.O., Rasulov M.S. Problem with free boundary for systems of equations of reaction-diffusion type, Ukr. Math. J. 69 (12), 1968–1980 (2018), DOI: 10.1007/s11253-018-1481-4.Wang R.H., Wang L., Wang Zh. Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term, J. Math. Anal. Appl. 467 (2), 1233–1257 (2018), DOI: 10.1016/j.jmaa.2018.07.065.Wang R.H., Wang L., Wang Zh. Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term, J. Math. Anal. Appl. 467 (2), 1233–1257 (2018), DOI: 10.1016/j.jmaa.2018.07.065.Кружков С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными, Тр. ММО 16 (1), 329–346 (1967).Кружков С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными, Тр. ММО 16 (1), 329–346 (1967).Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа (Наука, М., 1967).Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа (Наука, М., 1967).Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа (Мир, М., 1968).Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа (Мир, М., 1968).Elmurodov A.N., Rasulov M.S. On a Uniqueness of Solution for a Reaction-Diffusion Type System with a Free Boundary, Lobachevskii J. Math. 43 (8), 2099–2106 (2022), DOI: 10.1134/S1995080222110087.Elmurodov A.N., Rasulov M.S. On a Uniqueness of Solution for a Reaction-Diffusion Type System with a Free Boundary, Lobachevskii J. Math. 43 (8), 2099–2106 (2022), DOI: 10.1134/S1995080222110087.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.