izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2025-2-3-14izvuzmath-158Research ArticleСтатьиО локальных бифуркациях в нелинейных непрерывно-дискретных динамических системахOn local bifurcations in nonlinear continuous-discrete dynamical systemsАкмановаС. В.AkmanovaS. V.

Акманова Светлана Владимировна.

пр. Ленина, д. 38, Магнитогорск, 455000

Svetlana V. Akmanova.

38 Lenina str., Magnitogorsk, 455000

svet.akm_74@mail.ruЮмагуловМ. Г.YumagulovM. G.

Юмагулов Марат Гаязович.

ул. З. Валиди, д. 32, Уфа, 450076

Marat G. Yumagulov.

32 Z. Validi str., Ufa, 450076

yum_mg@mail.ruМагнитогорский государственный технический университет им. Г.И. НосоваРоссияNosov Magnitogorsk State Technical UniversityRussian FederationУфимский университет науки и технологийРоссияUfa University of Science and TechnologyRussian Federation20252502202502314Copyright © Акманова С.В., Юмагулов М.Г., 20252025Акманова С.В., Юмагулов М.Г.Akmanova S.V., Yumagulov M.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/158

Изучается динамика нелинейных непрерывно-дискретных (гибридных) систем и ее зависимость от шага h дискретизации. Такие системы содержат фазовые переменные и уравнения как с непрерывным, так и с дискретным временем. Основным в работе является вопрос о локальных бифуркациях при потере устойчивости точек равновесия гибридных систем. Приводятся достаточные признаки бифуркаций, изучаются свойства бифуркаций, определяются возможные сценарии бифуркаций. Введено понятие трансверсальной бифуркации, означающее, что соответствующее собственное значение матрицы линеаризованной задачи переходит через единичную окружность при переходе параметра h через точку бифуркации h0. Показано, что в однопараметрической постановке типичными являются два основных сценария: трансверсальная бифуркация удвоения периода и трансверсальная бифуркация Андронова-Хопфа, при этом сценарий трансверсальной бифуркации кратного равновесия, как правило, не реализуется. Приводятся примеры, иллюстрирующие эффективность предложенных подходов в задаче исследования бифуркаций в гибридных системах.

The dynamics of nonlinear continuous-discrete (hybrid) systems and its dependence on the sampling step h are studied. Such systems contain phase variables and equations with both continuous and discrete time. The main focus of the work is the issue of local bifurcations during loss of stability of equilibrium points of hybrid systems. Sufficient signs of bifurcations are given, the properties of bifurcations are studied, and possible bifurcation scenarios are determined. The concept of transversal bifurcation is introduced, meaning that the corresponding eigenvalue of the matrix of the linearized problem passes through the unit circle when the parameter h passes through the bifurcation point h0. It is shown that in a one-parameter formulation, two main scenarios are typical: transversal bifurcation of period doubling and transversal Andronov-Hopf bifurcation, while the scenario of transversal bifurcation of multiple equilibrium, as a rule, is not realized. Examples are given to illustrate the effectiveness of the proposed approaches in the problem of studying bifurcations in hybrid systems.

непрерывно-дискретная системагибридная систематочка равновесияустойчивостьбифуркацияcontinuous-discrete systemhybrid systemequilibrium pointstabilitybifurcationReferencesМаксимов В.П., Чадов А.Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики, Вестн. Пермск. ун-та 2 (9), 13–23 (2011).Максимов В.П., Чадов А.Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики, Вестн. Пермск. ун-та 2 (9), 13–23 (2011).Марченко В.М., Борковская И.М. О стабилизации скалярных гибридных дифференциально-разностных систем, Тр. БГТУ, Сер. 3: Физ. матем. науки и информатика. 1 (230), 5–13 (2020).Марченко В.М., Борковская И.М. О стабилизации скалярных гибридных дифференциально-разностных систем, Тр. БГТУ, Сер. 3: Физ. матем. науки и информатика. 1 (230), 5–13 (2020).Логунова О.С., Агапитов Е.Б., Баранкова И.И., Андреев С.М., Чусавитина Г.Н. Математические модели для исследования теплового состояния тел и управления тепловыми процессами, Электротехнические системы и комплексы 2 (43), 25–34 (2019).Логунова О.С., Агапитов Е.Б., Баранкова И.И., Андреев С.М., Чусавитина Г.Н. Математические модели для исследования теплового состояния тел и управления тепловыми процессами, Электротехнические системы и комплексы 2 (43), 25–34 (2019).Лакрисенко П.А. Об устойчивости положений равновесия нелинейных гибридных механических систем, Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер.10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 3, 116–125 (2015).Лакрисенко П.А. Об устойчивости положений равновесия нелинейных гибридных механических систем, Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер.10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 3, 116–125 (2015).Васильев С.Н., Маликов А.И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем, в сб. : Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН, 23–81 (Фолиант, Казань, 2011).Васильев С.Н., Маликов А.И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем, в сб. : Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН, 23–81 (Фолиант, Казань, 2011).Симонов П.М. Устойчивость и асимптотически периодические решения гибридных систем с последействием, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 168, ВИНИТИ РАН, М., 91–98 (2019).Симонов П.М. Устойчивость и асимптотически периодические решения гибридных систем с последействием, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 168, ВИНИТИ РАН, М., 91–98 (2019).Бортаковский А.С. Достаточные условия оптимальности управления переключаемыми системами, Изв. РАН. Теория и системы управления 4, 86–103 (2017).Бортаковский А.С. Достаточные условия оптимальности управления переключаемыми системами, Изв. РАН. Теория и системы управления 4, 86–103 (2017).Branicky M.S. Multiple Lyapunov Functions and Other Analysis Tools for Switched and Hybrid Systems, IEEE Trans. Automat. Contr. 43 (4), 475–482 (1998).Branicky M.S. Multiple Lyapunov Functions and Other Analysis Tools for Switched and Hybrid Systems, IEEE Trans. Automat. Contr. 43 (4), 475–482 (1998).Liberzon D. Switching in Systems and Control (Birkhäuser, Boston, 2003).Liberzon D. Switching in Systems and Control (Birkhäuser, Boston, 2003).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Устойчивость и бифуркации непрерывно-дискретных динамических систем с постоянным шагом дискретизации, Вестн. Башкирск. ун-та 26 (4), 862–865 (2021).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Устойчивость и бифуркации непрерывно-дискретных динамических систем с постоянным шагом дискретизации, Вестн. Башкирск. ун-та 26 (4), 862–865 (2021).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Первые ляпуновские величины и основные сценарии бифуркаций для неавтономных периодических динамических систем, Вестн. Башкирск. ун-та 26 (3), 560–564 (2021).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Первые ляпуновские величины и основные сценарии бифуркаций для неавтономных периодических динамических систем, Вестн. Башкирск. ун-та 26 (3), 560–564 (2021).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Об устойчивости точек равновесия нелинейных непрерывно-дискретных динамических систем, Уфимск. матем. журн. 15 (2), 85–100 (2023 ).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Об устойчивости точек равновесия нелинейных непрерывно-дискретных динамических систем, Уфимск. матем. журн. 15 (2), 85–100 (2023 ).Akmanova S.V., Kopylova N.A. The Stability of Continuous-Discrete Dynamical Systems under Fast Switching, Lobachevskii J. Math. 44 (5), 1826–1832 (2023).Akmanova S.V., Kopylova N.A. The Stability of Continuous-Discrete Dynamical Systems under Fast Switching, Lobachevskii J. Math. 44 (5), 1826–1832 (2023).Акманова С.В. Асимптотическая устойчивость и бифуркации нелинейных непрерывно-дискретных динамических систем, в сб. : Уфимская осенняя математическая школа–2021: Матер. межд. науч. конф., Уфа, Т. 2, 10–12 (Аэтерна, Уфа, 2021).Акманова С.В. Асимптотическая устойчивость и бифуркации нелинейных непрерывно-дискретных динамических систем, в сб. : Уфимская осенняя математическая школа–2021: Матер. межд. науч. конф., Уфа, Т. 2, 10–12 (Аэтерна, Уфа, 2021).Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л., Методы качественной теории о нелинейной динамике, Ч. 2 (Ин-т компьютерных исслед., М.–Ижевск, 2009).Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л., Методы качественной теории о нелинейной динамике, Ч. 2 (Ин-т компьютерных исслед., М.–Ижевск, 2009).Юмагулов М.Г. Введение в нелинейную динамику: теория, приложения, модели (Лань, СПб., 2022).Юмагулов М.Г. Введение в нелинейную динамику: теория, приложения, модели (Лань, СПб., 2022).Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С., Белова А.С. Методы теории возмущений в задаче о параметрическом резонансе для линейных периодических гамильтоновых систем, Уфимск. матем. журн. 13 (3), 178–195 (2021).Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С., Белова А.С. Методы теории возмущений в задаче о параметрическом резонансе для линейных периодических гамильтоновых систем, Уфимск. матем. журн. 13 (3), 178–195 (2021).Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах, Уфимск. матем. журн. 2 (4), 3–26 (2010).Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах, Уфимск. матем. журн. 2 (4), 3–26 (2010).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. О качественных характеристиках точек равновесия и циклов непрерывно-дискретных систем, в сб. : Теория управления и математическое моделирование: Матер. Всероссийск. конф. с межд. участием, посвящ. памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова, Ижевск, 142–145 (Изд. центр “Удмурдск. ун-т”, Ижевск, 2022).Юмагулов М.Г., Акманова С.В. О качественных характеристиках точек равновесия и циклов непрерывно-дискретных систем, в сб. : Теория управления и математическое моделирование: Матер. Всероссийск. конф. с межд. участием, посвящ. памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова, Ижевск, 142–145 (Изд. центр “Удмурдск. ун-т”, Ижевск, 2022).Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1988).Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1988).Като Т. Теория возмущений линейных операторов (Мир, М., 1972).Като Т. Теория возмущений линейных операторов (Мир, М., 1972).Гусарова Н.И., Муртазина С.А., Фазлытдинов М.Ф., Юмагулов М.Г. Операторные методы вычисления ляпуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем, Уфимск. матем. журнал 10 (1), 25–49 (2018).Гусарова Н.И., Муртазина С.А., Фазлытдинов М.Ф., Юмагулов М.Г. Операторные методы вычисления ляпуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем, Уфимск. матем. журнал 10 (1), 25–49 (2018).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.