izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-12-12-19izvuzmath-141Research ArticleСтатьиО СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКАOn the existence and uniqueness of a positive solution to a boundary value problem with integral boundary conditions for one nonlinear ordinary differential equation of the second orderАбдурагимовГ. Э.AbduragimovG. E.

Гусен Эльдерханович Абдурагимов

Ул. Гаджиева, д. 43 а, Махачкала, 367000

Gusen El’derhanovich Abduragimov

43 a Gadzhieva str., Makhachkala, 367000

gusen_e@mail.ruДагестанский государственный университетРоссияDagestan State UniversityRussian Federation2024040120250121219Copyright © Абдурагимов Г.Э., 20252025Абдурагимов Г.Э.Abduragimov G.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/141

Рассматривается краевая задача с интегральными граничными условиями для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка. Посредством функции Грина краевая задача редуцируется к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению Гаммерштейна. Далее, выявив необходимые нам свойства функции Грина, доказывается, что оператор Гаммерштейна сжимает соответствующий конус. Последнее обстоятельство в силу известной теоремы Красносельского гарантирует существование по меньшей мере одного положительного решения краевой задачи. С помощью априорных оценок с использованием принципа сжатых отображений были получены достаточные условия единственности положительного решения. В конце статьи приведен нетривиальный пример, иллюстрирующий полученные результаты.

The article considers a boundary value problem with integral boundary conditions for one nonlinear second-order functional differential equation. Using Green’s function, the boundary value problem is reduced to the equivalent nonlinear Hammerstein integral equation. Next, having identified the necessary properties of Green’s function, we prove that the Hammerstein operator contracts the corresponding cone. The last circumstance, by virtue of the well-known Krasnoselsky theorem, guarantees the existence of at least one positive solution to the boundary value problem. Using a priori estimates and the principle of compressed mappings, sufficient conditions for the uniqueness of a positive solution were obtained. At the end of the article, there is a non-trivial example illustrating the results obtained here.

положительное решениеинтегральная краевая задачафункция Гринасжатие конусаpositive solutionintegral boundary value problemGreen's functioncone compressionReferencesBenchohra M., Nieto J.J., Ouahab A. Second-Order Boundary Value Problem with Integral Boundary Conditions, Bound Value Probl. 2011, 1–9 (2011).Benchohra M., Nieto J.J., Ouahab A. Second-Order Boundary Value Problem with Integral Boundary Conditions, Bound Value Probl. 2011, 1–9 (2011).Li H., Sun F. Existence of solutions for integral boundary value problems of second-order ordinary differential equations, Bound Value Probl. 2012 (147), 1–7 (2012).Li H., Sun F. Existence of solutions for integral boundary value problems of second-order ordinary differential equations, Bound Value Probl. 2012 (147), 1–7 (2012).Cabada A., Iglesias J. Nonlinear differential equations with perturbed Dirichlet integral boundary conditions, Bound Value Probl. 2021 (66), 1–19 (2021).Cabada A., Iglesias J. Nonlinear differential equations with perturbed Dirichlet integral boundary conditions, Bound Value Probl. 2021 (66), 1–19 (2021).Ghanmii A., Jebari R., Zhang Z. Multiplicity results for a boundary value problem with integral boundary conditions, SeMA 76 (2), 365–381 (2019).Ghanmii A., Jebari R., Zhang Z. Multiplicity results for a boundary value problem with integral boundary conditions, SeMA 76 (2), 365–381 (2019).Djourdem H., Benaicha S. Positive solutions of nonlinear third-order boundary value problem with integral boundary conditions, Malaya J. Matem. 7 (2), 269–175 (2019).Djourdem H., Benaicha S. Positive solutions of nonlinear third-order boundary value problem with integral boundary conditions, Malaya J. Matem. 7 (2), 269–175 (2019).Егоров И.Е., Ефимова Е.С. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием по времени для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени, Матем. заметки СВФУ 26 (1), 6–11 (2019).Егоров И.Е., Ефимова Е.С. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием по времени для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени, Матем. заметки СВФУ 26 (1), 6–11 (2019).Benaicha S., Bouteraa N., Djourdem H. Triple positive solutions for a class of boundary value problems with integral boundary conditions, Bull. Transilvania Univ. Brasov, Ser. III 13 (62) (1), 51–68 (2020).Benaicha S., Bouteraa N., Djourdem H. Triple positive solutions for a class of boundary value problems with integral boundary conditions, Bull. Transilvania Univ. Brasov, Ser. III 13 (62) (1), 51–68 (2020).Bugajewska D., Mawhin J. Boundary value problems with bounded ϕ-Laplacian and nonlocal conditions of integral type, Czech. Math. J., 1–12 (2023), DOI: 10.21136/CMJ.2023.0154-23.Bugajewska D., Mawhin J. Boundary value problems with bounded ϕ-Laplacian and nonlocal conditions of integral type, Czech. Math. J., 1–12 (2023), DOI: 10.21136/CMJ.2023.0154-23.Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений (Наука, М., 1991).Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений (Наука, М., 1991).Бравый Е.И. Краевые задачи для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений, дисс. докт. физ.-матем. наук (ПГТУ, Пермь, 2017).Бравый Е.И. Краевые задачи для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений, дисс. докт. физ.-матем. наук (ПГТУ, Пермь, 2017).Абдурагимов Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с интегральными граничными условиями, Матем. физика и компьютер. моделирование 25 (4), 5–14 (2022).Абдурагимов Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с интегральными граничными условиями, Матем. физика и компьютер. моделирование 25 (4), 5–14 (2022).Абдурагимов Г.Э. О существовании положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка, Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 221, 3–9 (2023).Абдурагимов Г.Э. О существовании положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка, Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 221, 3–9 (2023).Крейн С.Г. Функциональный анализ (Наука, М., 1972).Крейн С.Г. Функциональный анализ (Наука, М., 1972).Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа (Наука, М., 1975).Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа (Наука, М., 1975).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.