izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-12-3-11izvuzmath-140Research ArticleСтатьиО БЕСКОНЕЧНОСТИ ЧИСЛА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА НА РЕШЕТКЕOn the infinite number of eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator on a latticeАбдуллаевЖ. И.AbdullaevJ. I.

Жаникул Ибрагимович Абдуллаев

Университетский бульвар, д. 15, Самарканд, 140104

Janikul Ibragimovich Abdullaev

15 University blv., Samarkand, 140104

jabdullaev@mail.ruХалхужаевА. М.KhalkhuzhaevA. M.

Ахмад Мияссарович Халхужаев

Просп. М. Улугбека, д. 81, Ташкент, 100170; ул. М. Икбала, д. 11, Бухара, 200118; Университетский бульвар, д. 15, Самарканд, 140104

Ahmad Miyassarovich Khalkhuzhaev

81 M. Ulugbek Ave., Tashkent, 100170;11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118; 15 University blv., Samarkand, 140104

ahmadx@mail.ruШотемировЙ. С.ShotemirovYu. S.

Йулдош Сафарович Шотемиров

Ул. Ибн Сино, д. 45, Навои, 210100

Yuldosh Safarovich Shotemirov

45 Ibn Sino str., Navoi, 210100

shotemirov.y@gmail.comСамаркандский государственный университет имени Шарофа РашидоваУзбекистанSamarkand State University named after Sharof Rashidov,UzbekistanИнститут математики имени В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Бухарский государственный университет; Самаркандский государственный университет имени Шарофа РашидоваУзбекистанV.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences; Bukhara State University; Samarkand State University named after Sharof RashidovUzbekistanНавоийский государственный педагогический институт,УзбекистанNavoi State Pedagogical Institute,Uzbekistan202404012025012311Copyright © Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Шотемиров Й.С., 20252025Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Шотемиров Й.С.Abdullaev J.I., Khalkhuzhaev A.M., Shotemirov Y.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/140

Рассматривается оператор Шрёдингера $H(\mathbf{k})=H_0(\mathbf{k})-V, \,\, \mathbf{k}\in \mathbb{T}^2,$ ассоциированный системой двух частиц на двумерной решетке. Показывается инвариантность подпространств четных и нечетных функций относительно $H(\mathbf{k}).$ Описываются множества квазиимпульсов $\mathcal{K}(1),$ $\mathcal{K}(2)$ и класс потенциалов $\mathrm{P}(1),$ $\mathrm{P}(2),$ для которых при $\mathbf{k}\in \mathcal{K}(j),\,\, \hat{v}\in \mathrm{P}(j)$ оператор $H(\mathbf{k})$ имеет бесконечное число собственных значений $z_n(\mathbf{k}),\, n\in \mathbb{Z}_+$. Найдены явный вид $z_n(\mathbf{k})$ и скорость стремления последовательности $z_n(\mathbf{k})$ ко дну существенного спектра.

We consider the Schrödinger operator $H(\mathbf{k})=H_0(\mathbf{k})-V, \,\, \mathbf{k}\in \mathbb{T}^2,$ associated with a system of two particles on a two-dimensional lattice. It is shown that the subspaces of even as well as odd functions are invariant under operator $H(\mathbf{k}).$ The sets of quasimomenta $\mathcal{K}(1),$ $\mathcal{K}(2)$ and the class of potentials $\mathrm{P}(1),$ $\mathrm{P}(2)$ are described, for which the operator $H(\mathbf{k})$ has infinite number of eigenvalues $z_n(\mathbf{k}),\, n\in \mathbb{Z}_+$, for $\mathbf{k}\in \mathcal{K}(j),\,\, \hat{v}\in \mathrm{P}(j)$. The explicit form of $z_n(\mathbf{k})$ and the rate of convergence of the sequence $z_n(\mathbf{k})$ to the bottom of the essential spectrum are found.

решеткагамильтонианоператор Шрёдингераквазиимпульсширина непрерывного спектрапотенциалсобственное значениесобственная функцияlatticeHamiltonianSchrödinger operatorquasimomentumwidth of the continuous spectrumpotentialeigenvalueeigenfunctionReferencesMattis D.C. The Few-Body Problem on a Lattice, Rev. Modern Phys. 58 (2), 361–379 (1986).Mattis D.C. The Few-Body Problem on a Lattice, Rev. Modern Phys. 58 (2), 361–379 (1986).Faria da Veiga P.A., Ioriatti L., O’Carroll M. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians, Phys. Rev. E, 66 (1) (2002).Faria da Veiga P.A., Ioriatti L., O’Carroll M. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schrödinger Hamiltonians, Phys. Rev. E, 66 (1) (2002).Abdullaev J.I., Ikromov I.A. Finiteness of the number of eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator on a lattice, Theor. and Math. Phys. 152 (3), 1299–1312 (2007).Abdullaev J.I., Ikromov I.A. Finiteness of the number of eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator on a lattice, Theor. and Math. Phys. 152 (3), 1299–1312 (2007).Abdullaev J.I., Khalkhuzhaev A.M., Usmonov L.S. Monotonicity of the eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator a lattice, Nanosystems Phys. Chemistry Math. 12 (6), 657–663 (2021).Abdullaev J.I., Khalkhuzhaev A.M., Usmonov L.S. Monotonicity of the eigenvalues of the two-particle Schrödinger operator a lattice, Nanosystems Phys. Chemistry Math. 12 (6), 657–663 (2021).Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Расулов Т.Х. Инвариантные подпространства и собственные значения трехчастичного дискретного оператора Шрёдингера, Изв. вузов. Матем. (9), 3–19 (2023).Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Расулов Т.Х. Инвариантные подпространства и собственные значения трехчастичного дискретного оператора Шрёдингера, Изв. вузов. Матем. (9), 3–19 (2023).Бахронов Б.И., Расулов Т.Х., Рехман М. Условия существования собственных значений трехчастичного решетчатого модельного гамилтониана, Изв. вузов. Матем. (7), 3–12 (2023).Бахронов Б.И., Расулов Т.Х., Рехман М. Условия существования собственных значений трехчастичного решетчатого модельного гамилтониана, Изв. вузов. Матем. (7), 3–12 (2023).Faddeev L.D., Merkuriev S.P. Quantum Scattering Theory for Several Particle Systems (Kluwer Academic Publ., 1993).Faddeev L.D., Merkuriev S.P. Quantum Scattering Theory for Several Particle Systems (Kluwer Academic Publ., 1993).Mogilner A.I. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrödinger operators: problems and result, Many Particle Hamiltonians: Spectra and Scattering, Adv. Soviet Math. 5, 139–194 (1991).Mogilner A.I. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrödinger operators: problems and result, Many Particle Hamiltonians: Spectra and Scattering, Adv. Soviet Math. 5, 139–194 (1991).Маматов Ш.С., Минлос Р.А. Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, Теор. И матем. физ. 79 (2), 163–179 (1989).Маматов Ш.С., Минлос Р.А. Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, Теор. И матем. физ. 79 (2), 163–179 (1989).Minlos R.A., Mogilner A.I. Some Problems Concerning Spectra of Lattice Models, in: Schrödinger Operators, Standard and Nonstandard, Proc. Conf. in Dubna, USSR, 6–10 September, P. Exner and P. Seba, eds., World Sci., Singapore, 243–257 (1989).Minlos R.A., Mogilner A.I. Some Problems Concerning Spectra of Lattice Models, in: Schrödinger Operators, Standard and Nonstandard, Proc. Conf. in Dubna, USSR, 6–10 September, P. Exner and P. Seba, eds., World Sci., Singapore, 243–257 (1989).Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Хужамиеров И.А. Условие существования собственного значения трехчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Изв. вузов. Матем. (2), 3–25 (2023).Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Хужамиеров И.А. Условие существования собственного значения трехчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Изв. вузов. Матем. (2), 3–25 (2023).Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке, Изв. вузов. Матем. (1), 61–70 (2014).Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке, Изв. вузов. Матем. (1), 61–70 (2014).Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц, Изв. вузов. Матем. (12), 59–69 (2008).Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц, Изв. вузов. Матем. (12), 59–69 (2008).Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Теор. И матем. физ. 155 (2), 287–300 (2008).Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Теор. И матем. физ. 155 (2), 287–300 (2008).Абдуллаев Ж.И., Мамиров Б.У. Асимптотика собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шрёдингера, Теор. и матем. физ. 176 (3), 417–428 (2013).Абдуллаев Ж.И., Мамиров Б.У. Асимптотика собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шрёдингера, Теор. и матем. физ. 176 (3), 417–428 (2013).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.