izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-10-77-89izvuzmath-124Research ArticleСтатьиРАЗЛОЖЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИСКРЕТНОГО БИЛАПЛАСИАНА С ДВУМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМExpansions of eigenvalues of a discrete bilaplacian with two-dimensional perturbationРасуловТ. Х.RasulovT. Kh.

Тулкин Хусенович Расулов

ул. М. Икбол д. 11, г. Бухара, 200118

Tulkin Khusenovich Rasulov 

11 M.Ikbol str., Bukhara, 200118

t.h.rasulov@buxdu.uzХалхужаевА. М.KhalkhuzhaevA. M.

Ахмад Мияссарович Халхужаев

Университетский бульвар, д. 15, г. Самарканд, 140104, 

ул. Университетская, д. 9, г. Ташкент, 100174

Miyassarovich Khalkhuzhaev

15 University blvrd., Samarkand, 140104,

9 University str., Tashkent, 100174

ПардабаевМ. А.PardabaevM. A.

Мардон Алмуратович Пардабаев

ул. Спитамен, д. 166, г. Самарканд, 140104

Mardon Almuratovich Pardabaev 

166 Spitamen str., Samarkand, 140104

p_mardon75@mail.ruХайитоваХ. Г.KhayitovaKh. G.

Хилола Гафуровна Хайитова

ул  М. Икбол, д. 11, г. Бухара, 200118

Khilola Gafurovna Khayitova 

11 M.Ikbol str., Bukhara, 200118

Бухарский государственный университетУзбекистанBukhara State UniversityUzbekistanСамаркандский государственный университет им. Шарофа Рашидова; Институт математики имени В.И. Романовского Академии наук Республики УзбекистанУзбекистанSamarkand State University after named Sharof Rashidov; V.I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of UzbekistanUzbekistanУзбекско-Финский педагогический институтУзбекистанUzbek-Finnish Pedagogical InstituteUzbekistan2024091120240107789Copyright © Расулов Т.Х., Халхужаев А.М., Пардабаев М.А., Хайитова Х.Г., 20242024Расулов Т.Х., Халхужаев А.М., Пардабаев М.А., Хайитова Х.Г.Rasulov T.K., Khalkhuzhaev A.M., Pardabaev M.A., Khayitova K.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/124

Рассматривается семейство операторов Ḣµ: = ΔΔ - µ V, µ > 0, т. е. билапласиан с конечномерным возмущением на одномерной решетке Z , где Δ — дискретный лапласиан, а V — оператор ранга два. Доказано, что для любого µ > 0 дискретный спектр Hµ является двухэлементным e1(µ) < 0 и e2(µ) < 0. Находим сходящиеся разложения собственных значений ei(µ), i = 1, 2, в малой окрестности нуля при малых µ > 0.

In this paper we consider the family of operators μH:= ΔΔ— Vμ,     μ  > 0, that is,  a bilaplacian with  a finite-dimensional perturbation on  a one-dimensional lattice  Z , where Δ  is  a  discrete  Laplacian,  and  Vμ   is  an  operator  of  rank  two.  It  is  proved  that  for  any  μ  > 0 the discrete  spectrum  μH  is  two-element  e1(μ ) < 0 and  e2(μ ) < 0.  We find  convergent  expansions of the eigenvalues ei(μ ), i = 1, 2 in a small neighborhood of zero for small μ  > 0.

дискретный билапласиандискретный оператор Шрёдингерасущественный спектрсобственное значениеразложениеасимптотикаdiscrete bilaplaciandiscrete Schrodinger operatoressential spectrumeigenvalueexpansionasymptoticsReferencesMcKenna P.J., Walter W. Nonlinear oscillations in a suspension bridge, Arch. Rational Mech. Anal. 98, 167–177 (1987).McKenna P.J., Walter W. Nonlinear oscillations in a suspension bridge, Arch. Rational Mech. Anal. 98, 167–177 (1987).Hoffmann S., Plonka G., Weickert J. Discrete Green’s Functions for Harmonic and Biharmonic Inpainting with Sparse Atoms. In: X. Tai et al (eds) Energy Minimization Methods in Computer Vision and Pattern Recognition., EMMCVPR. Lect. Notes Computer Sci. 8932, 169–182 (2015).Hoffmann S., Plonka G., Weickert J. Discrete Green’s Functions for Harmonic and Biharmonic Inpainting with Sparse Atoms. In: X. Tai et al (eds) Energy Minimization Methods in Computer Vision and Pattern Recognition., EMMCVPR. Lect. Notes Computer Sci. 8932, 169–182 (2015).Ben-Artzi M., Katriel G. Spline functions, the biharmonic operator and approximate eigenvalues, Numer. Math. 141, 839–879 (2019).Ben-Artzi M., Katriel G. Spline functions, the biharmonic operator and approximate eigenvalues, Numer. Math. 141, 839–879 (2019).Graef J., Heidarkhani Sh., Kong L., Wang M. Existence of solutions to a discrete fourth order boundary value problem, J. Diff. Equ. Appl. 24 (6), 849–858 (2018).Graef J., Heidarkhani Sh., Kong L., Wang M. Existence of solutions to a discrete fourth order boundary value problem, J. Diff. Equ. Appl. 24 (6), 849–858 (2018).Tee G.J. A Novel Finite-Difference Approximation to the Biharmonic Operator, Computer J. 6, 177–192 (1963).Tee G.J. A Novel Finite-Difference Approximation to the Biharmonic Operator, Computer J. 6, 177–192 (1963).Andrew A., Paine J. Correction of finite element estimates for Sturm–Liouville eigenvalues, Numer. Math. 50, 205–215 (1986).Andrew A., Paine J. Correction of finite element estimates for Sturm–Liouville eigenvalues, Numer. Math. 50, 205–215 (1986).Boumenir A. Sampling for the fourth-order Sturm–Liouville differential operator, J. Math. Anal. Appl. 278 (2), 542–550 (2003).Boumenir A. Sampling for the fourth-order Sturm–Liouville differential operator, J. Math. Anal. Appl. 278 (2), 542–550 (2003).Rattana A., B¨ockmann C. Matrix methods for computing eigenvalues of Sturm–Liouville problems of order four, J. Comput. Appl. Math. 249, 144–156 (2013).Rattana A., B¨ockmann C. Matrix methods for computing eigenvalues of Sturm–Liouville problems of order four, J. Comput. Appl. Math. 249, 144–156 (2013).Albeverio S., Lakaev S., Makarov K., Muminov Z. The Threshold Effects for the Two-Particle Hamiltonians on Lattices, Commun. Math. Phys. 262, 91–115 (2006).Albeverio S., Lakaev S., Makarov K., Muminov Z. The Threshold Effects for the Two-Particle Hamiltonians on Lattices, Commun. Math. Phys. 262, 91–115 (2006).Graf G., Schenker D. 2-magnon scattering in the Heisenberg model, Ann. Inst. Henri Poincar´e, Phys. Th´eor. 67 (1), 91–107 (1997).Graf G., Schenker D. 2-magnon scattering in the Heisenberg model, Ann. Inst. Henri Poincar´e, Phys. Th´eor. 67 (1), 91–107 (1997).Lakaev S.N., Khalkhuzhaev A.M., Lakaev Sh.S. Asymptotic behavior of an eigenvalue of the two-particle discrete Schr¨odinger operator, Theoret. and Math. Phys. 171 (3), 800–811 (2012).Lakaev S.N., Khalkhuzhaev A.M., Lakaev Sh.S. Asymptotic behavior of an eigenvalue of the two-particle discrete Schr¨odinger operator, Theoret. and Math. Phys. 171 (3), 800–811 (2012).Lakaev S.N., Kholmatov Sh.Yu. Asymptotics of eigenvalues of two-particle Schr¨odinger operators on lattices with zero-range interaction, J. Phys. A: Math. Theor. 44 (13) (2011).Lakaev S.N., Kholmatov Sh.Yu. Asymptotics of eigenvalues of two-particle Schr¨odinger operators on lattices with zero-range interaction, J. Phys. A: Math. Theor. 44 (13) (2011).Kholmatov Sh., Khalkhuzhaev A., Pardabaev M. Expansion of eigenvalues of the perturbed discrete bilaplacian, Monatshefte fur Math. 197, 607–633 (2022).Kholmatov Sh., Khalkhuzhaev A., Pardabaev M. Expansion of eigenvalues of the perturbed discrete bilaplacian, Monatshefte fur Math. 197, 607–633 (2022).Kholmatov Sh., Pardabaev M. On Spectrum of the Discrete Bilaplacian with Zero-Range Perturbation, Lobachevskii J. Math. 42 (6), 1286–1293 (2021).Kholmatov Sh., Pardabaev M. On Spectrum of the Discrete Bilaplacian with Zero-Range Perturbation, Lobachevskii J. Math. 42 (6), 1286–1293 (2021).Klaus M. On the bound states of Schr¨odinger operators in one dimension, Ann. Phys. 108 (2), 288–300 (1977).Klaus M. On the bound states of Schr¨odinger operators in one dimension, Ann. Phys. 108 (2), 288–300 (1977).Simon B. The bound state of weakly coupled Schr¨odinger operators in one and two dimensions, Ann. Phys. 97 (2), 279–288 (1976).Simon B. The bound state of weakly coupled Schr¨odinger operators in one and two dimensions, Ann. Phys. 97 (2), 279–288 (1976).Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, Т. 4, Анализ операторов (Мир, М., 1982).Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, Т. 4, Анализ операторов (Мир, М., 1982).Бахронов Б.И., Расулов Т.Х., Рехман М. Условия существования собственных значений трехчастичного решетчатого модельного гамильтониана, Изв. вузов. Матем. (7), 3–12 (2023).Бахронов Б.И., Расулов Т.Х., Рехман М. Условия существования собственных значений трехчастичного решетчатого модельного гамильтониана, Изв. вузов. Матем. (7), 3–12 (2023).Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Расулов Т.Х. Инвариантные подпространства и собственные значения трехчастичного оператора Шрёдингера, Изв. вузов. Матем. (9), 3–19 (2023).Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Расулов Т.Х. Инвариантные подпространства и собственные значения трехчастичного оператора Шрёдингера, Изв. вузов. Матем. (9), 3–19 (2023).Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке, Изв. вузов. Матем. (1), 61–70 (2014).Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке, Изв. вузов. Матем. (1), 61–70 (2014).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.