izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-9-92-99izvuzmath-115Research ArticleСтатьиАНАЛОГ МЕТРИКИ ПУАНКАРЕ И ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫAn analog of the Poincar´e metric and isoperimetric constantsАвхадиевФ. Г.AvkhadievF. G.

Фарит Габидинович Авхадиев

Ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Farit Gabidinovich Avkhadiev

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

avkhadiev47@mail.ruКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation202426092024099299Copyright © Авхадиев Ф.Г., 20242024Авхадиев Ф.Г.Avkhadiev F.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/115

Для плоской области мы определяем новую метрику, близкую к метрике Пуанкаре с гауссовой кривизной $k=-4$. Для этой квазигиперболической метрики изучаются неравенства изопериметрического типа.

Доказано, что константа в линейном квазигиперболическом изопериметрическом неравенстве для допустимых подобластей заданной области является конечной тогда и только тогда, когда область не содержит бесконечно удаленной точки и имеет равномерно совершенную границу. Даны также оценки этих констант с использованием известных числовых характеристик областей.

For plane domains we define a new metric close to the Poincar\'{e} metric with the Gaussian curvature $k=-4$. For this quasi-hyperbolic metric we study inequalities of isoperimetric type. It is proved that the constant of the linear quasi-hyperbolic isoperimetric inequality for admissible subdomains of a given domain is finite if and only if the domain does not contain the point at infinity and has a uniformly perfect boundary. Also, we give estimates of these constants using some known numerical characteristics of domains.

метрика Пуанкарегиперболический радиусизопериметрическое неравенстворавномерно совершенное множествоPoincar\'{e} metrichyperbolic radiusisoperimetric inequalityuniformly perfect setРабота выполнена в рамках реализации программы развития Научнообразовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение 07502-2024-1438)ReferencesГолузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного (Наука, М., 1966).Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного (Наука, М., 1966).Ahlfors L.V. Conformal invariants: Topics in Geometric Function Theory (McGraw-Hill, New-York, 1973).Ahlfors L.V. Conformal invariants: Topics in Geometric Function Theory (McGraw-Hill, New-York, 1973).Bandle C. and Flucher M. Harmonic radius and concentration of energy: hyperbolic radius and Liouville’s equations Delta U = eU and Delta U = U n+2 n 2 , SIAM Review 38 (2), 191–238 (1996).Bandle C. and Flucher M. Harmonic radius and concentration of energy: hyperbolic radius and Liouville’s equations Delta U = eU and Delta U = U n+2 n 2 , SIAM Review 38 (2), 191–238 (1996).Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Schwarz-Pick Type Inequalities (Birkha¨user Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2009).Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Schwarz-Pick Type Inequalities (Birkha¨user Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2009).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства (Казанский университет, Казань, 2020).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства (Казанский университет, Казань, 2020).Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis R.T. The Analysis and Geometry of Hardy’s Inequality (Springer, Heidelberg New York Dordrecht London, 2015).Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis R.T. The Analysis and Geometry of Hardy’s Inequality (Springer, Heidelberg New York Dordrecht London, 2015).Rademacher H. ¨Uber partielle und totale Differenzierbarkeit I, Math. Ann. 89, 340–359 (1919).Rademacher H. ¨Uber partielle und totale Differenzierbarkeit I, Math. Ann. 89, 340–359 (1919).Avkhadiev F.G. A Strong Form of Hardy Type Inequalities on Domains of the Euclidean Space, Lobachevskii J. Math. 41 (11), 2120–2135 (2020).Avkhadiev F.G. A Strong Form of Hardy Type Inequalities on Domains of the Euclidean Space, Lobachevskii J. Math. 41 (11), 2120–2135 (2020).Osserman R. The isoperimetric inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 84 (6), 1182–1238 (1978).Osserman R. The isoperimetric inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 84 (6), 1182–1238 (1978).Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства (Наука, Ленинград, 1980).Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства (Наука, Ленинград, 1980).Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the Poincar´e metric, Arch. Math. 32 (2), 192–199 (1979).Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the Poincar´e metric, Arch. Math. 32 (2), 192–199 (1979).Avkhadiev F.G. Euclidean maximum moduli of plane domains and their applications, Complex Variables Elliptic Equat. 64 (11), 1869–1880 (2019).Avkhadiev F.G. Euclidean maximum moduli of plane domains and their applications, Complex Variables Elliptic Equat. 64 (11), 1869–1880 (2019).Osgood B. Some properties of fprime prime /fprime and the Poincar´e metric, Indiana Univ. Math. J. 31 (2), 449–461 (1982).Osgood B. Some properties of fprime prime /fprime and the Poincar´e metric, Indiana Univ. Math. J. 31 (2), 449–461 (1982).Авхадиев Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана, Матем. сб. 189 (12), 3–12 (1998).Авхадиев Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана, Матем. сб. 189 (12), 3–12 (1998).Avkhadiev F.G., Kayumov I.R. Comparison theorems of isoperimetric type for moments of compact sets, Collectanea Math. 55 (1), 1–9 (2004).Avkhadiev F.G., Kayumov I.R. Comparison theorems of isoperimetric type for moments of compact sets, Collectanea Math. 55 (1), 1–9 (2004).Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи, 2-е издание, перераб. и доп. (Казанский университет, Казань, 2019).Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи, 2-е издание, перераб. и доп. (Казанский университет, Казань, 2019).Авхадиев Ф.Г. Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой, Изв. РАН. Сер. матем. 86 (1), 3–35 (2022).Авхадиев Ф.Г. Теоремы вложения, связанные с жесткостью кручения и основной частотой, Изв. РАН. Сер. матем. 86 (1), 3–35 (2022).Avkhadiev F.G., Kacimov A.R. The Saint-Venant type isoperimetric inequalities for assessing saturated water storage in lacunary shallow perched aquifers, ZAMM 103 (1), 1–22 (2022).Avkhadiev F.G., Kacimov A.R. The Saint-Venant type isoperimetric inequalities for assessing saturated water storage in lacunary shallow perched aquifers, ZAMM 103 (1), 1–22 (2022).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства в областях евклидова пространства, Изв. РАН. Сер. матем. 83 (5), 3–26 (2019).Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства в областях евклидова пространства, Изв. РАН. Сер. матем. 83 (5), 3–26 (2019).Schoen R., Yau S.-T. Conformally flat manifold, Kleinian groups and scalar curvature, Invent. math. 92, 47–71 (1988).Schoen R., Yau S.-T. Conformally flat manifold, Kleinian groups and scalar curvature, Invent. math. 92, 47–71 (1988).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.