izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-8-94-99izvuzmath-104Research ArticleСтатьиАппроксимация положительных решений симметричных задач на собственные значения с нелинейной зависимостью от спектрального параметраApproximation of positive solutions of symmetric eigenvalue problems with nonlinear dependence on the spectral parameterСоловьёвП. С.Solov’evP. S.

Павел Сергеевич Соловьёв

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Pavel Sergeevich Solov’ev

18 Kremlevskaya str., Kazan, 420008

pavel.solovev.kpfu@mail.ruКазанский федеральный университетРоссияKazan Federal UniversityRussian Federation202431082024089499Copyright © Соловьёв П.С., 20242024Соловьёв П.С.Solov’ev P.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/104

Исследуется симметричная дифференциальная задача на собственные значения в частных производных с нелинейной зависимостью от спектрального параметра, возникающая в физике плазмы. Предложены и обоснованы новые условия существования положительного собственного значения и соответствующей положительной собственной функции. Построена конечно-элементная аппроксимация задачи, сохраняющая свойство положительности решений. Установлены результаты о существовании и сходимости приближенных решений.

A symmetric partial differential eigenvalue problem with nonlinear dependence on the spectral parameter arising in plasma physics is studied. We propose and justify new conditions for the existence of a positive eigenvalue and the corresponding positive eigenfunction. A finite element approximation of the problem preserving the property of positivity of solutions is constructed. The existence and convergence of approximate solutions are established.

собственное значениеположительная собственная функциязадача на собственные значенияметод конечных элементовeigenvaluepositive eigenfunctioneigenvalue problemfinite element methodРабота выполнена при финансовой поддержке Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета («ПРИОРИТЕТ2030»).ReferencesАбдуллин И.Ш., Желтухин В.С., Кашапов Н.Ф. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения (Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2000).Абдуллин И.Ш., Желтухин В.С., Кашапов Н.Ф. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения (Изд-во Казан. ун-та, Казань, 2000).Желтухин В.С. О разрешимости одной нелинейной спектральной задачи теории высокочастотных разрядов пониженного давления, Изв. вузов. Матем. (5), 26–31 (1999).Желтухин В.С. О разрешимости одной нелинейной спектральной задачи теории высокочастотных разрядов пониженного давления, Изв. вузов. Матем. (5), 26–31 (1999).Желтухин В.С. Об условиях разрешимости системы краевых задач теории высокочастотной плазмы пониженного давления, Изв. вузов. Матем. (1), 52–57 (2005).Желтухин В.С. Об условиях разрешимости системы краевых задач теории высокочастотной плазмы пониженного давления, Изв. вузов. Матем. (1), 52–57 (2005).Желтухин В.С., Соловьёв С.И., Соловьёв П.С. Аппроксимация наименьшего собственного значения нелинейной задачи Штурма–Лиувилля, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 157 (2), 40–54 (2015).Желтухин В.С., Соловьёв С.И., Соловьёв П.С. Аппроксимация наименьшего собственного значения нелинейной задачи Штурма–Лиувилля, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 157 (2), 40–54 (2015).Zheltukhin V.S., Solov’ev S.I., Solov’ev P.S., Chebakova V.Yu. Computation of the minimum eigenvalue for a nonlinear Sturm–Liouville problem, Lobachevskii J. Math. 35 (4), 416–426 (2014).Zheltukhin V.S., Solov’ev S.I., Solov’ev P.S., Chebakova V.Yu. Computation of the minimum eigenvalue for a nonlinear Sturm–Liouville problem, Lobachevskii J. Math. 35 (4), 416–426 (2014).Solov’ev S.I., Solov’ev P.S. Finite Element Approximation of the Minimal Eigenvalue of a Nonlinear Eigenvalue Problem, Lobachevskii J. Math. 39 (7), 949–956 (2018).Solov’ev S.I., Solov’ev P.S. Finite Element Approximation of the Minimal Eigenvalue of a Nonlinear Eigenvalue Problem, Lobachevskii J. Math. 39 (7), 949–956 (2018).Korosteleva D.M., Solov’ev P.S., Solov’ev S.I. Finite Element Approximation of the Minimal Eigenvalue and the Corresponding Positive Eigenfunction of a Nonlinear Sturm–Liouville problem, Lobachevskii J. Math. 40 (11), 1959—1966 (2019).Korosteleva D.M., Solov’ev P.S., Solov’ev S.I. Finite Element Approximation of the Minimal Eigenvalue and the Corresponding Positive Eigenfunction of a Nonlinear Sturm–Liouville problem, Lobachevskii J. Math. 40 (11), 1959—1966 (2019).Solov’ev S.I. Approximation of differential eigenvalue problems with a nonlinear dependence on the parameter, Diff. Equat. 50 (7), 947–954 (2014).Solov’ev S.I. Approximation of differential eigenvalue problems with a nonlinear dependence on the parameter, Diff. Equat. 50 (7), 947–954 (2014).Solov’ev S.I. Approximation of nonlinear spectral problems in a Hilbert space, Diff. Equat. 51 (7), 934–947 (2015).Solov’ev S.I. Approximation of nonlinear spectral problems in a Hilbert space, Diff. Equat. 51 (7), 934–947 (2015).Solov’ev S.I. Eigenvibrations of a bar with elastically attached load, Diff. Equat. 53 (3), 409–423 (2017).Solov’ev S.I. Eigenvibrations of a bar with elastically attached load, Diff. Equat. 53 (3), 409–423 (2017).Adams R.A. Sobolev spaces (Academic Press, New York, 1975).Adams R.A. Sobolev spaces (Academic Press, New York, 1975).Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высшая школа, М., 1977).Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высшая школа, М., 1977).Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач (Мир, М., 1980).Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач (Мир, М., 1980).Brandts J.H., Korotov S., Kˇr´ıˇzek M. The discrete maximum principle for linear simplicial finite element approximations of a reaction-diffusion problem, Linear Algebra Appl. 429 (10), 2344–2357 (2008).Brandts J.H., Korotov S., Kˇr´ıˇzek M. The discrete maximum principle for linear simplicial finite element approximations of a reaction-diffusion problem, Linear Algebra Appl. 429 (10), 2344–2357 (2008).Vejchodsk´y T. The discrete maximum principle for Galerkin solutions of elliptic problems, Cent. Eur. J. Math. 10 (1), 25–43 (2012).Vejchodsk´y T. The discrete maximum principle for Galerkin solutions of elliptic problems, Cent. Eur. J. Math. 10 (1), 25–43 (2012).Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1988).Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1988).Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Springer, New York, 2008).Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Springer, New York, 2008).Dauge M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains, Lecture Notes Math. 1341 (Springer, Berlin, 1988).Dauge M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains, Lecture Notes Math. 1341 (Springer, Berlin, 1988).Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains (Pitman, Boston, 1985).Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains (Pitman, Boston, 1985).Сенета Е. Правильно меняющиеся функции (Наука, М., 1985).Сенета Е. Правильно меняющиеся функции (Наука, М., 1985).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.