izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2024-8-55-64izvuzmath-101Research ArticleСтатьиОб инвариантах Лапласа двумерных нелинейных уравнений второго порядка с однородным полиномомOn Laplace invariants of two-dimensional nonlinear equations of the second order with homogeneous polynomialРахмелевичИ. В.RakhmelevichI. V.

Игорь Владимирович Рахмелевич

пр. Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603950

Igor Vladimirovich Rakhmelevich

23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod, 603950

igor-kitpd@yandex.ruНациональный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. ЛобачевскогоРоссияNational Research Lobachevsky State University of Nizhny NovgorodRussian Federation202431082024085564Copyright © Рахмелевич И.В., 20242024Рахмелевич И.В.Rakhmelevich I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/101

Исследуются двумерные нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, левая часть которых представляет собой однородный полином второй степени по искомой функции и ее производным. Рассматривается множество линейных мультипликативных преобразований неизвестной функции, сохраняющих вид исходного уравнения. Аналогично линейным уравнениям, инварианты Лапласа определяются как инварианты этого преобразования. Получены выражения для инвариантов Лапласа через коэффициенты уравнения и их первые производные. Для рассматриваемых уравнений найдены эквивалентные системы уравнений первого порядка, содержащие инварианты Лапласа. Показано, что если один из инвариантов Лапласа равен нулю, то соответствующая система сводится к одному уравнению первого порядка. Также в этом случае при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты может быть получено решение исходного уравнения в квадратурах. Исследования проведены для гиперболического уравнения со смешанной производной и для нелинейного уравнения второго порядка общего вида с однородным полиномом второй степени по искомой функции и ее производным. Для этих случаев получены выражения для инвариантов Лапласа и приведены соответствующие эквивалентные системы.

We study two-dimensional nonlinear partial differential equations of the second order with variable coefficients. The left-hand side of these equations is a homogeneous polynomial of the second degree in unknown function and its derivatives. We consider a set of linear multiplicative transformations of the unknown function which keep the form of the initial equation. By analogy with linear equations, the Laplace invariants are determined as the invariants of this transformation. The expressions for the Laplace invariants in terms of the coefficients of the equation and their first derivatives are obtained. For the considered equations, we found the equivalent systems of the first order equations containing the Laplace invariants. It is shown that if one of the Laplace invariants equals zero, the corresponding system is reduced to one equation of the first order. Also in this case, the solution of the initial equation can be obtained in quadratures if some additional conditions on the coefficients are met. The investigations are executed for a hyperbolic equation with a mixed derivative and for a nonlinear second order equation of the general form with a homogeneous polynomial of the second degree in unknown function and its derivatives. We obtained for these cases the Laplace invariants and equivalent systems of the first order equations.

дифференциальное уравнение в частных производныхгиперболическое уравнениеинвариант Лапласалинейное мультипликативное преобразованиеоднородный полиномpartial differential equationshyperbolic equationLaplace invariantlinear multiplicative transformationhomogeneous polynomialReferencesГурса Э. Курс математического анализа. Т.3., Ч.1. (М.-Л.: ГИТТИ, 1933).Гурса Э. Курс математического анализа. Т.3., Ч.1. (М.-Л.: ГИТТИ, 1933).Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных (М.: Изд-во ин. лит., 1957).Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных (М.: Изд-во ин. лит., 1957).Джохадзе О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных, Дифференц. уравнения 40 (1), 58–68 (2004).Джохадзе О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных, Дифференц. уравнения 40 (1), 58–68 (2004).Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными, Матем. заметки 99 (1), 89–96 (2016). DOI: 10.4213/mzm10613Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными, Матем. заметки 99 (1), 89–96 (2016). DOI: 10.4213/mzm10613Миронов А.Н., Миронова Л.Б. К инвариантам Лапласа для одного уравнения с доминирующей частной производной с тремя независимыми переменными, Дифференц. уравнения 55 (1), 67–73 (2019), DOI: 10.1134/S0374064119010072.Миронов А.Н., Миронова Л.Б. К инвариантам Лапласа для одного уравнения с доминирующей частной производной с тремя независимыми переменными, Дифференц. уравнения 55 (1), 67–73 (2019), DOI: 10.1134/S0374064119010072.Миронов А.Н. Об инвариантах Лапласа одного уравнения четвертого порядка, Дифференц. уравнения 45 (8), 1144–1149 (2009).Миронов А.Н. Об инвариантах Лапласа одного уравнения четвертого порядка, Дифференц. уравнения 45 (8), 1144–1149 (2009).Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными, Изв. вузов. Матем. (10), 27–34 (2014).Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными, Изв. вузов. Матем. (10), 27–34 (2014).Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. Алгоритм построения общего решения n-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 28–45 (2009).Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. Алгоритм построения общего решения n-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 28–45 (2009).Старцев С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений, Матем. заметки 83 (1), 107–118 (2008).Старцев С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений, Матем. заметки 83 (1), 107–118 (2008).Старцев С.Я. О вариационной интегрирующей матрице для гиперболических систем уравнений, Фундамент. и прикл. матем. 12 (7) , 251–262 (2006).Старцев С.Я. О вариационной интегрирующей матрице для гиперболических систем уравнений, Фундамент. и прикл. матем. 12 (7) , 251–262 (2006).Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 87–96 (2009).Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 87–96 (2009).Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа, УМН 56 (1), 63–106 (2001). DOI: https://doi.org/10.4213/rm357Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа, УМН 56 (1), 63–106 (2001). DOI: https://doi.org/10.4213/rm357Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой, Теор. и матем. физ. 120 (2), 237–247 (1999).Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой, Теор. и матем. физ. 120 (2), 237–247 (1999).Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа, Тр. ИММ УрО РАН 13 (4), 74–83 (2007).Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа, Тр. ИММ УрО РАН 13 (4), 74–83 (2007).Гурьева А.М., Жибер А.В. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды, Теор. и матем. физ. 138 (3), 401–421 (2004).Гурьева А.М., Жибер А.В. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды, Теор. и матем. физ. 138 (3), 401–421 (2004).Старцев С.Я. Структура множества симметрий гиперболических систем лиувиллевского типа и обобщенные инварианты Лапласа, Уфимск. матем. журн. 10 (4), 103–110 (2018).Старцев С.Я. Структура множества симметрий гиперболических систем лиувиллевского типа и обобщенные инварианты Лапласа, Уфимск. матем. журн. 10 (4), 103–110 (2018).Кушнер А.Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа–Ампера и инварианты Лапласа, Докл. РАН 422 (5), 597–600 (2008).Кушнер А.Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа–Ампера и инварианты Лапласа, Докл. РАН 422 (5), 597–600 (2008).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.